复数

复数是可以表示为 $z=a+bi$ 的数，其中 $a$ 和 $b$ 是实数，$i$ 是虚数单位，满足 $i^2=-1$。$a$ 和 $b$ 分别称为 $z$ 的实部和虚部；虚部是 $b$，而不是 $bi$。复数集记作 $\mathbb C$。实数是其中 $b=0$ 的特殊情形；在复数范围内，$z^2+1=0$ 等方程也有解。(ocw.mit.edu)

算术运算与代数结构

两个复数相等，当且仅当它们的实部和虚部分别相等。加法和减法分别对实部、虚部进行运算，乘法则遵循通常的分配律，并利用 $i^2=-1$：

例如，$(2+3i)(1-i)=5+i$。这些运算仍满足算术中熟悉的结合律、交换律和分配律。(ocw.mit.edu)

$z=a+bi$ 的共轭复数是 $\overline z=a-bi$。由于

每个非零复数都有倒数

因此，复数除法可以通过将分子和分母同时乘以分母的共轭复数来进行。除以零仍然没有定义。(ocw.mit.edu)

在这些运算下，$\mathbb C$ 构成一个域（数学）。复数也可以用实数的有序对来严格构造，其乘法定义为

在这一构造中，$i=(0,1)$。这表明，复数的定义并不依赖于将负数的平方根当作一个未经解释的符号。(math.mit.edu)

几何表示

复平面用点 $(a,b)$ 表示 $a+bi$，其中实轴为水平轴，虚轴为竖直轴。复数加法对应于向量加法，取共轭则对应于将点关于实轴作镜像反射。这将复数运算与几何学联系起来，也使 $\mathbb C$ 成为一个二维实向量空间。(ocw.mit.edu)

复数的模，也称绝对值，定义为

它表示对应点到原点的距离；类似地，$|z-w|$ 是复平面上两点之间的欧几里得距离。当 $z\ne0$ 时，辐角 $\theta$ 表示它相对于实轴正方向的角度。相差 $2\pi$ 整数倍的辐角表示同一方向。零的模为零，但辐角没有定义。(ocw.mit.edu)

利用三角学，非零复数可以写成极坐标形式

欧拉公式

给出了等价的指数形式 $z=re^{i\theta}$。相乘时，模相乘、辐角相加；相除时，模相除、辐角相减。特别地，乘以 $i$ 相当于在平面上逆时针旋转 $90^\circ$。(ocw.mit.edu)

乘方、开方与多项式方程

借助棣莫弗公式，极坐标形式可以简化乘方运算：

对于正整数 $n$，每个非零复数 $z=re^{i\theta}$ 恰有 $n$ 个不同的 $n$ 次方根：

这些根均匀分布在一个圆周上。单位根对应于 $z=1$ 的特殊情形；四次单位根为 $1,i,-1,-i$。(ocw.mit.edu)

代数基本定理指出，每个复系数的非常数多项式都有复数根。因此，一个 $n$ 次多项式可以在 $\mathbb C$ 上分解为 $n$ 个一次因式，其中重根按其重数计入。这一性质称为代数闭性。对于实系数多项式，非实数根成共轭对出现，因为对方程取共轭不会改变其系数。(math.wustl.edu)

复变函数与复分析

复分析研究以复数为自变量的函数。其核心概念是复可微性：无论 $h$ 在平面上从哪个方向趋近于零，导数

都必须具有相同的值。如果一个函数在某个开区域内处处复可微，就称它在该区域内全纯。(math.wustl.edu)

对于 $f=u+iv$，复可微性要求满足柯西–黎曼方程，即 $u_x=v_y$ 和 $u_y=-v_x$。全纯函数还具有很强的性质：它们存在各阶导数，并且在局部可以表示为收敛的幂级数。这些特点使复微分与普通的实微分有所不同。(math.berkeley.edu)

历史发展

复数起源于16世纪对三次方程的研究。吉罗拉莫·卡尔达诺的《大术》（1545年）包含了涉及负数平方根的计算。拉斐尔·邦贝利的《代数学》（1572年）提出了处理这些数的运算规则，并展示了含复数的中间表达式如何得出实数解。后来出现的几何表示，尤其是韦塞尔、阿尔冈和卡尔·弗里德里希·高斯等人的工作，帮助确立了将复数解释为平面上点的观点。(math.mit.edu)

应用

在电气工程中，复阻抗和相量同时表示正弦电压与电流的大小和相位。为避免与电流符号混淆，通常用 $j$ 代替 $i$。复指数也是傅里叶变换的基础；傅里叶变换用频率分量表示信号。复指数还可以简化对描述振荡的微分方程的处理。(ocw.mit.edu)

在量子力学中，波函数通常取复数值。在位置表象中，波函数的模平方给出位置的概率密度，而相对相位则影响干涉。因此，复数量包含了仅凭实部或模无法保留的信息。(live.ocw.mit.edu)