巴拿赫空间

巴拿赫空间是具有完备性的赋范向量空间：其中每个柯西序列都依范数收敛到该空间内的某个元素。巴拿赫空间是泛函分析的核心研究对象，为研究由函数和序列构成的无限维空间提供了框架。完备性使我们能够通过收敛的逼近过程构造元素，而不必离开所选的空间。(ocw.mit.edu)

定义与完备性

设 $X$ 是实数域或复数域上的向量空间。范数是一个取非负实数值的函数 $x\mapsto\|x\|$，满足

最后一个条件称为三角不等式。范数通过

定义一个度量。当且仅当这个度量使 $X$ 成为完备度量空间时，$(X,\|\cdot\|)$ 才是巴拿赫空间。具体而言，如果对每个 $\varepsilon>0$，都存在 $N$，使得只要 $n,m\geq N$，就有 $\|x_n-x_m\|<\varepsilon$，那么必存在某个 $x\in X$，使得 $\|x_n-x\|\to0$。(ocw.mit.edu)

一个等价的判据是：每个绝对收敛的向量级数都收敛。也就是说，只要

级数 $\sum_nu_n$ 的部分和就在 $X$ 中收敛。这个判据将向量收敛的问题转化为数项级数的问题。(bpb-us-w2.wpmucdn.com)

典型例子

实数域或复数域上的每个有限维赋范空间都是完备的。因此，$\mathbb R^n$ 和 $\mathbb C^n$ 在任意范数下都是巴拿赫空间，并不限于欧几里得范数。(ocw.mit.edu)

重要的无限维例子包括：

• 连续函数空间。 紧区间上的连续函数构成的空间 $C([a,b])$，在范数

  $$\|f\|_\infty=\sup_{t\in[a,b]}|f(t)|$$

  下是完备的。依这个范数收敛就是一致收敛。

• 序列空间。 对于 $1\leq p<\infty$，空间 $\ell^p$ 由满足 $\sum_n|x_n|^p<\infty$ 的序列构成，其范数为 $(\sum_n|x_n|^p)^{1/p}$。有界序列构成的空间 $\ell^\infty$ 在上确界范数下是完备的。(ocw.mit.edu)

• 可积函数空间。 对于 $1\leq p\leq\infty$，Lp空间都是巴拿赫空间。其中的元素是可测函数的等价类，几乎处处相等的函数被视为同一元素。当 $p$ 有限时，范数用勒贝格积分定义：

  $$\|f\|_p=\left(\int|f|^p\,d\mu\right)^{1/p}.$$

  当 $p=\infty$ 时，范数为本质上确界。(bpb-us-w2.wpmucdn.com)

每个希尔伯特空间都是巴拿赫空间，其范数由内积诱导。反之则不成立：一般的巴拿赫空间范数未必具有这种额外的几何结构。(bpb-us-w2.wpmucdn.com)

对范数的依赖与基本构造

完备性取决于所选的范数，而不仅仅取决于底层向量空间。例如，$C([0,1])$ 在上确界范数下是完备的，但在范数 $\int_0^1|f(t)|\,dt$ 下并不完备。逼近某个阶梯函数的连续函数序列，在后一范数下可以是柯西序列，却不收敛到任何连续函数。不过，等价范数保持完备性。(ocw.mit.edu)

巴拿赫空间的一个线性子空间在继承的范数下完备，当且仅当它是闭的。若 $M$ 是闭线性子空间，则商向量空间 $X/M$ 在范数

下是巴拿赫空间。若不满足闭性，这个表达式可能在某个非零陪集上取零值。(ocw.mit.edu)

每个赋范空间都有一个度量完备化，其上可以定义相容的向量运算，并延拓原有范数，从而得到一个巴拿赫空间。然而，完备性并不蕴含紧性：赋范空间的闭单位球在范数拓扑下是紧的，当且仅当该空间是有限维的。(ocw.mit.edu)

算子与对偶性

赋范空间之间的线性映射 $T:X\to Y$ 连续，当且仅当它有界，即存在某个常数 $C$，使得

它的算子范数为

只要 $Y$ 是巴拿赫空间，从 $X$ 到 $Y$ 的有界线性映射所构成的空间就是巴拿赫空间，即使 $X$ 本身并不完备。(live.ocw.mit.edu)

连续对偶空间 $X^*$ 由取标量值的有界线性泛函构成，并配备算子范数。它总是巴拿赫空间。到二次对偶空间的典范映射

是一个等距嵌入。当这个映射为满射时，称该巴拿赫空间是自反的。自反性比完备性更强；例如，由趋于零的序列构成、配备上确界范数的巴拿赫空间就不是自反的。(live.ocw.mit.edu)

基本定理

巴拿赫空间理论以若干重要结果为支柱：

• 哈恩—巴拿赫定理可以将子空间上的有界线性泛函延拓到整个赋范空间，而不增加其范数。这一定理不要求空间具有完备性。
• 一致有界原理指出，若一族有界线性算子的定义域是巴拿赫空间，且该算子族逐点有界，那么它们的算子范数一致有界。(ocw.mit.edu)
• 开映射定理指出，巴拿赫空间之间的有界满射线性算子是开映射。因此，有界双射线性算子的逆算子也是有界的。
• 闭图像定理指出，巴拿赫空间之间、在整个定义域上定义的线性算子，若其图像在积空间中是闭的，则该算子有界。(ocw.mit.edu)

完备性也是压缩映射不动点定理的基础：在完备度量空间上，逐次迭代收敛到唯一的不动点。将这一定理应用于适当的函数空间，可以得到微分方程解的存在性与唯一性结果。(ocw.mit.edu)