压缩映射

压缩映射是度量空间之间的一种函数，它以同一个严格小于一的因子缩短任意两点间的距离。其重要性在于，这一定量条件与不动点的存在性密切相关：当压缩映射将非空完备度量空间映入自身时，反复应用该映射会收敛到唯一一个在映射作用下保持不变的点。这一原理既给出了存在性定理，也提供了构造解的方法。(jirka.org)

定义与基本性质

设 $(X,d_X)$ 和 $(Y,d_Y)$ 为度量空间。如果存在常数 $q$，满足 $0\le q<1$，使得

则称映射 $T:X\to Y$ 为压缩映射。

数 $q$ 称为压缩常数，它不必是所有可取常数中最小的。因此，压缩映射具有常数小于一的利普希茨连续性，从而具有一致连续性。不动点结论针对的是将空间映入自身的映射 $T:X\to X$，不过，上述距离不等式对于不同空间之间的映射同样有意义。(jirka.org)

统一的上界至关重要：仅仅使每个非零距离都缩短，并不一定能找到一个统一的小于一的因子。相比之下，非扩张映射满足 $q=1$ 时的不等式。压缩映射不一定是单射函数：常值映射就是压缩常数为 $q=0$ 的压缩映射。此外，映射是否具有压缩性取决于所选的度量，而不只是底层集合本身的性质。(kconrad.math.uconn.edu)

巴拿赫不动点定理

巴拿赫不动点定理又称压缩映射原理，指出：非空完备度量空间上的压缩映射 $T:X\to X$ 有唯一的不动点 $p$，满足 $Tp=p$。对于任意初始点 $x_0\in X$，不动点迭代

都收敛到 $p$。完备性是指每个柯西序列在该空间内都有极限。这一定理适用于一般的度量空间，而不仅限于实数或有限维向量组成的空间。(jirka.org)

这一数学证明结合了几何衰减与完备性。相邻迭代项满足

利用三角不等式并对等比级数求和，可得当 $m>n$ 时，

因此，迭代序列是柯西序列，并收敛到某个点 $p$。由连续性可得 $Tp=p$。如果 $p$ 和 $r$ 都是不动点，那么

这就必然有 $p=r$。(kconrad.math.uconn.edu)

收敛性与误差估计

压缩映射迭代的误差具有按几何速度衰减的上界：

一个实用的先验估计可用初始迭代步长表示：

利用最近计算出的迭代步长，可得到后验估计：

只要压缩映射的假设成立，这些估计就能将相邻迭代项之间的距离转化为有保证的误差上界。它们还为数值算法提供了停止准则，而无须知道精确的不动点。一般来说，压缩常数越小，所能保证的收敛速度就越快；接近一的上界则可能给出较为保守的估计。(people.math.ethz.ch)

示例与验证

对于实数轴上的仿射映射

其压缩常数为 $|a|$，不动点为

事实上，$x_n-p=a^n(x_0-p)$，直接展示了几何收敛的特征。(kconrad.math.uconn.edu)

对于定义在区间上的可微实函数，如果其导数满足统一的界

则可通过中值定理推出压缩不等式。要应用不动点定理，还必须要求该函数将所选的完备定义域映入自身。例如，$T(x)=\cos x$ 将 $[0,1]$ 映入自身，且压缩常数为 $\sin 1<1$。因此，反复进行余弦迭代会收敛到该区间内方程 $x=\cos x$ 的唯一解。(math.tecnico.ulisboa.pt)

应用与局限

在泛函分析中，参与迭代的点本身可以是函数。一个重要例子是针对微分方程

的皮卡—林德勒夫定理。

将该方程改写为积分方程，并定义

在连续函数组成的巴拿赫空间的某个适当闭子集上，若 $f$ 关于因变量满足常数为 $L$ 的利普希茨条件，则压缩常数至多为 $Lh$，其中 $|t-t_0|\le h$。选取足够小的 $h$，并确保该子集在映射下保持不变，即可证明解的局部存在性与唯一性。(jirka.org)

这些假设不能随意省略。例如，$T(x)=x/2$ 在不完备空间 $(0,1)$ 上是压缩映射，但它唯一可能的不动点——零——不在该空间内。在完备空间 $\mathbb R$ 上，$T(x)=x+1$ 是非扩张映射，却没有不动点。恒等映射则以每个点为不动点。这些例子分别说明，要获得定理所保证的结论，完备性、映射将空间映入自身，以及严格小于一的统一因子都是必要的。(jirka.org)