导数 · aiwiki.page

导数是微积分中的基本概念，用于衡量函数的输入发生微小变化时，输出如何随之变化。对于一元实函数，某点处的导数表示该点的瞬时变化率，也是该点处切线的斜率。求导数的过程称为求导。导数将运动、几何形状和局部近似的研究联系起来。(openstax.org)

定义与记号

设 $f$ 是定义在包含 $a$ 的某个开区间上的实数值函数。它在 $a$ 处的导数定义为极限

f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h},

前提是这个极限存在且为有限数。极限符号内的表达式称为差商，表示在宽度为 $h$ 的区间上的平均变化率。取极限便将这一平均变化率转化为瞬时变化率。(openstax.org)

让求导所在的点变化，就得到导函数 $f'$ ，其定义域由导数存在的点组成。常用记号包括 $f'(x)$ 、 $Df(x)$ ，以及在 $y=f(x)$ 时使用的 $dy/dx$ 。算子 $d/dx$ 表示对 $x$ 求导；虽然它的写法类似分数，但它并不是普通的商。(openstax.org)

例如，若 $f(x)=x^2$ ，则

\frac{(x+h)^2-x^2}{h}=2x+h,

因此 $f'(x)=2x$ 。在 $x=3$ 处，导数为 $6$ 。这是一个局部变化率，并不意味着 $x$ 每增加一个有限的量， $f(x)$ 都会恰好增加该量的六倍。(openstax.org)

当 $f'(a)$ 存在时，函数图像在 $(a,f(a))$ 处的切线方程为

y=f(a)+f'(a)(x-a).

这给出了 $a$ 附近的线性近似。更确切地说，可导意味着 $f(a+h)=f(a)+f'(a)h+r(h)$ ，其中 $r(h)/h\to0$ 。因此，相对于输入的变化量，近似误差趋于可以忽略。(openstax.org)

可导必然意味着函数是连续函数，但连续并不意味着可导。连续函数 $f(x)=|x|$ 在零点处没有导数，因为它在该点的左侧斜率和右侧斜率分别为 $-1$ 和 $1$ 。尖角、间断点和竖直切线都可能使有限的导数不存在。在区间端点处，则可以考虑单侧导数。(openstax.org)

求导运算具有线性性：对于常数 $\alpha,\beta$ ，有

(\alpha f+\beta g)'=\alpha f'+\beta g'.

常数的导数为零，幂函数求导法则则给出：对于正整数 $n$ ， $(x^n)'=nx^{n-1}$ 。利用这些法则，可以对任意多项式逐项求导。乘积和商的求导法则为

(fg)'=f'g+fg',\qquad \left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^2},

其中商的求导法则要求 $g\ne0$ 。(openstax.org)

链式法则用于复合函数的求导：

(f\circ g)'(x)=f'(g(x))g'(x).

它同时考虑外层函数对输入变化的敏感程度，以及内层函数的变化率。在可以继续求导的情况下，反复求导可得到高阶导数，记作 $f''$ 、 $f'''$ 或 $f^{(n)}$ 。(openstax.org)

在经典力学中，位置对时间的导数是速度，速度对时间的导数是加速度。因此，二阶导数衡量的是一阶变化率本身如何变化。导数的单位是输出的单位除以输入的单位；若位置以米计、时间以秒计，则速度的单位为米每秒。(openstax.org)

导数为数学优化提供了重要工具。如果函数在定义域内部的某个局部极大值点或极小值点处可导，那么该点的一阶导数必为零。这是必要条件，但不是充分条件： $x^3$ 在原点处的导数为零，却并不在该点取得极值。寻找极值时，还必须考虑不可导点和边界点。(openstax.org)

含有未知函数及其导数的方程称为微分方程。它们描述各个量与其变化率之间的关系，例如运动模型中加速度对力的依赖关系。(openstax.org)

微积分基本定理将求导与积分联系起来。若 $f$ 在某个区间上连续，且

F(x)=\int_a^x f(t)\,dt,

则在区间内部的点处有 $F'(x)=f(x)$ 。反过来，若 $G'=f$ ，则 $\int_a^b f(x)\,dx=G(b)-G(a)$ 。这将瞬时变化与累积变化联系起来，并使原函数成为计算定积分的工具。(openstax.org)

对于多元函数，偏导数是在保持其他坐标不变的情况下，仅改变一个坐标所得到的导数。标量值函数的各个偏导数组成其梯度。对于可微函数，沿单位方向 $\mathbf u$ 的方向导数等于 $\nabla f\cdot\mathbf u$ ；非零梯度指向函数增长最快的方向。(openstax.org)

多元函数的可微性要求在所有方向上都存在统一的局部线性近似，而不仅仅是各个偏导数存在。对于有限维空间上的向量值函数，这种近似由一个线性映射给出，其坐标表示为雅可比矩阵。(openstax.org)

符号求导通过符号运算构造导数表达式。有限差分方法利用邻近点的函数值来近似导数，其误差受步长和浮点运算的影响。自动微分则将求导法则应用于程序中的基本运算。在机器学习中，反向传播利用反向模式微分计算损失函数的梯度，梯度下降等算法再利用这些梯度更新参数。(jmlr.org)

系统的微分学是在早期切线与面积研究的基础上，通过十七世纪艾萨克·牛顿和戈特弗里德·威廉·莱布尼茨的工作发展起来的。牛顿着重研究变化的量及其“流数”；莱布尼茨则创立了微分记号，这套记号后来成为微积分的核心组成部分。(mathshistory.st-andrews.ac.uk)