累积分布函数 · aiwiki.page

累积分布函数（CDF）是一种函数，通过累加给定阈值以下及阈值处的概率，描述随机变量的概率分布。对于实值随机变量 $X$ ，其定义为 $F_X(x)=P(X\leq x)$ 。这一定义同样适用于离散分布、连续分布和混合分布，因此累积分布函数成为统计学和概率论中描述不确定性的通用语言。(online.stat.psu.edu)

定义与基本性质

对于任意实数 $x$ ，有

F_X(x)=P(X\leq x).

这里， $X$ 是随机变量，而 $x$ 是固定的阈值。 $F_X(x)$ 的值介于零和一之间；它并不是 $X$ 等于 $x$ 的概率。每个累积分布函数都满足以下四个基本条件：

**单调不减：**若 $a<b$ ，则 $F_X(a)\leq F_X(b)$ 。
右连续： $\lim_{h\downarrow0}F_X(x+h)=F_X(x)$ 。
下边界极限： $\lim_{x\to-\infty}F_X(x)=0$ 。
上边界极限： $\lim_{x\to+\infty}F_X(x)=1$ 。

反过来，任何满足这些条件的函数，都是某个实值随机变量的累积分布函数。右连续性体现了事件 $X\leq x$ 包含端点这一事实；累积分布函数不一定左连续。(statlect.com)

在测度论中，累积分布函数唯一确定实数轴及其博雷尔σ代数上的一个概率测度。因此，知道累积分布函数，不仅能确定由阈值界定的事件的概率，也能确定所有博雷尔可测集的概率。不同的随机变量可以具有相同的累积分布函数，而不必是同一个随机变量，也不必定义在同一个概率空间上。(live.ocw.mit.edu)

由累积分布函数求概率

对于 $a<b$ ，将累积概率相减可得

P(a<X\leq b)=F_X(b)-F_X(a).

将左极限定义为 $F_X(x^-)=\lim_{t\uparrow x}F_X(t)$ ，则

P(X=x)=F_X(x)-F_X(x^-),

并且

P(a\leq X\leq b)=F_X(b)-F_X(a^-).

因此，累积分布函数在 $x$ 处的跳跃高度，等于集中在该点的概率。若累积分布函数在 $x$ 处连续，则 $P(X=x)=0$ 。所以，对于具有点质量的分布，是否包含端点十分重要；但当端点处的概率为零时，这一区别就不再影响结果。(live.ocw.mit.edu)

相应的互补概率

P(X>x)=1-F_X(x),

通常称为生存函数。它描述的是超过某个阈值的概率，而不是小于或等于该阈值的概率。当变量表示寿命或失效时间时，这一联系尤为有用。(itl.nist.gov)

离散分布与连续分布

对于概率质量函数为 $p(t)=P(X=t)$ 的离散随机变量，

F_X(x)=\sum_{t\leq x}p(t).

例如，若伯努利分布满足 $P(X=1)=p$ 、 $P(X=0)=1-p$ ，则其累积分布函数为

F_X(x)= \begin{cases} 0,&x<0,\\ 1-p,&0\leq x<1,\\ 1,&x\geq1. \end{cases}

其累积分布函数在零和一处发生跳跃。更一般地，离散分布通过跳跃累积概率；在不包含任何可能取值的区间内，累积分布函数保持不变。(statlect.com)

对于具有概率密度函数 $f$ 的绝对连续分布，概率的累积用积分表示：

F_X(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)\,dt.

反过来，其导数几乎处处等于概率密度。累积分布函数的值是概率，而概率密度的值本身不是概率，并且可以大于一。区间概率对应于概率密度曲线下的面积。(online.stat.psu.edu)

对于 $[0,1]$ 上的均匀分布，累积分布函数在 $x<0$ 时等于零，在零到一之间等于 $x$ ，在 $x>1$ 时等于一。标准正态分布的累积分布函数通常记作 $\Phi$ ，可通过数值表查得指定阈值处的累积概率。(itl.nist.gov)

累积分布函数连续，并不一定意味着存在概率密度。奇异连续分布就是反例。混合分布则可以同时包含点质量和绝对连续部分，其累积分布函数因而既有跳跃，也有连续增长。在所有这些情况下，累积分布函数都有定义。(live.ocw.mit.edu)

分位数与随机抽样

分位数函数将累积分布函数的映射方向反转：它把概率水平映射为阈值。一种标准的广义逆定义为

Q(u)=\inf\{x\in\mathbb R:F_X(x)\geq u\}, \qquad 0<u<1.

与普通的反函数不同，即使累积分布函数存在平坦区段或跳跃，这一定义仍然适用。对于连续且严格递增的累积分布函数，它与通常的反函数一致。分位数给出指定累积概率所对应的阈值，其中包括通常采用的下中位数 $Q(0.5)$ 。(www2.stat.duke.edu)

在逆变换抽样中，将 $(0,1)$ 上的均匀随机变量 $U$ 变换为 $Q(U)$ ，所得随机变量的累积分布函数就是 $F_X$ 。这一构造适用于任意一元分布。与之相关的概率积分变换指出，当 $F_X$ 连续时， $F_X(X)$ 服从均匀分布；如果没有连续性条件，这一结论一般不成立。(www2.stat.duke.edu)

经验估计与分布检验

对于观测值 $x_1,\ldots,x_n$ ，经验分布函数为

\widehat F_n(x)=\frac1n\sum_{i=1}^{n}\mathbf1\{x_i\leq x\},

其中，指示函数在条件成立时等于一，否则等于零。它记录小于或等于各个阈值的观测值所占的比例。其图像呈阶梯状：每个不同的观测值都会产生一个与其频率成比例的跳跃，因此重复出现的值会产生更大的跳跃。(itl.nist.gov)

累积分布函数之间的比较可用于统计假设检验。柯尔莫哥洛夫–斯米尔诺夫检验利用经验累积分布函数与指定理论累积分布函数之间的最大垂直距离，对二者进行比较。标准的单样本临界值以完全指定的连续分布为前提；如果使用同一组观测值估计该分布的参数，就需要调整临界值的标定，而不能直接使用未经修正的临界值。(itl.nist.gov)