拓扑空间的博雷尔σ代数是包含其所有开集的最小σ代数，其中的元素称为博雷尔集。它给出了由拓扑确定的典范可测空间结构，无须预先选定测度。这一构造将拓扑学与测度论联系起来，并给出了实数轴及其他常见空间上通常使用的可测集族。(web.math.princeton.edu)
定义与构造
设 (X) 是赋有拓扑 (\tau) 的集合，其博雷尔σ代数记为 [ \mathcal B(X)=\sigma(\tau) =\bigcap{\mathcal A:\mathcal A\text{ 是 }X\text{ 上的σ代数},\ \tau\subseteq\mathcal A}. ] “最小”是指按包含关系而言最小：任何包含 (\tau) 的σ代数也都包含 (\mathcal B(X))。这一交集是良定义的，因为幂集 (\mathcal P(X)) 就是满足条件的σ代数之一。σ代数的交集仍然是σ代数。(web.math.princeton.edu)
因此，(\mathcal B(X)) 包含 (X) 和空集，并且对取补集、可数并和可数交封闭。所有闭集都是博雷尔集，因为它们是开集的补集。因此，闭集生成的σ代数与开集生成的σ代数相同。反复进行这些封闭运算，可以得到比最初的生成元复杂得多的集合。(ocw.mit.edu)
可数性在这里至关重要：σ代数不一定对任意不可数并封闭。与拓扑不同，σ代数必须对取补集和可数交封闭，但不必对任意并封闭。因此，博雷尔σ代数与生成它的拓扑是两种不同类型的结构。(personal.stevens.edu)
实数轴与常用生成族
在赋有通常拓扑的实数轴上，(\mathcal B(\mathbb R)) 可由所有开区间生成。只使用端点为有理数的区间 ((p,q)) 就已足够，因为这些区间构成一个可数的基，且每个开集都是这些区间的可数并。此外，还有 [ \mathcal B(\mathbb R) =\sigma{(-\infty,a):a\in\mathbb R} =\sigma{(-\infty,a]:a\in\mathbb R}. ] 这些描述很有用，因为检验可测性时，只需检验一个生成族，而不必逐一检验所有博雷尔集。(users.math.msu.edu)
(\mathbb R) 中的每个单点集都是闭集，因此每个可数集都是博雷尔集。特别地，(\mathbb Q) 是博雷尔集，其补集，即无理数集，也是博雷尔集。这说明博雷尔集可以既不是开集，也不是闭集。(personal.stevens.edu)
闭集的可数并称为 (F_\sigma) 集，开集的可数交称为 (G_\delta) 集。这两类集合都是博雷尔集。例如， [ \mathbb Q=\bigcup_{q\in\mathbb Q}{q} ] 是 (F_\sigma) 集，而 (\mathbb R\setminus\mathbb Q) 是 (G_\delta) 集。进一步取可数并和可数交，还能得到更多博雷尔集。(web.math.princeton.edu)
可测函数与概率
拓扑空间之间的映射 (f:X\to Y) 若满足 [ f^{-1}(A)\in\mathcal B(X) \quad\text{对每个 }A\in\mathcal B(Y)\text{ 都成立}, ] 则称为博雷尔可测。这是可测函数的一种特殊情形。每个连续函数都是博雷尔可测的：开集的原像是开集，而且取原像的运算保持补集和可数并。博雷尔可测性比连续性弱。例如，(\mathbb Q) 的示性函数是博雷尔可测的，却处处不连续。(personal.stevens.edu)
对于实值函数，只需检验对每个实数 (a)，集合 ({x:f(x)<a}) 都是可测集。定义域上的σ代数本身不必是博雷尔σ代数。因此，概率空间 ((\Omega,\mathcal F,P)) 上的实值随机变量，就是从 ((\Omega,\mathcal F)) 到 ((\mathbb R,\mathcal B(\mathbb R))) 的可测映射。其概率分布是如下测度： [ P_Z(A)=P(Z^{-1}(A)),\qquad A\in\mathcal B(\mathbb R). ] 博雷尔σ代数规定了可能取值的哪些集合可以由这一分布赋予概率。(users.math.msu.edu)
博雷尔集与勒贝格可测性
(\mathbb R) 的每个博雷尔子集都是勒贝格测度意义下的可测集，但反过来并不成立。勒贝格σ代数是博雷尔σ代数关于勒贝格测度的完备化：它还包含每个博雷尔零测集的所有子集，以及通过σ代数所要求的运算得到的集合。(ocw.mit.edu)
例如，通常的康托尔集是闭集，且其勒贝格测度为零。它的每个子集都是勒贝格可测的，但其中有些子集不是博雷尔集。因此，将勒贝格测度限制在博雷尔集上得到的测度并不完备。完备化依赖于某个特定的测度，而博雷尔σ代数只依赖于拓扑。(ocw.mit.edu)
积空间
对于拓扑空间 (X) 和 (Y)，由博雷尔矩形生成的积σ代数满足 [ \mathcal B(X)\otimes\mathcal B(Y) \subseteq\mathcal B(X\times Y), ] 其中笛卡尔积赋予积拓扑。如果两个空间都有可数基，则等号成立：此时，它们的积空间中的每个开集都是开矩形的可数并。如果没有适当的假设，等号未必成立。(math.vanderbilt.edu)
特别地，对于有限个或可数个可分空间且为度量空间的空间的积，等号成立。对于欧几里得空间，有 [ \mathcal B(\mathbb R^n)=\mathcal B(\mathbb R)^{\otimes n}. ] 这表明，实值随机向量所使用的可测结构，正是通常的欧几里得拓扑所给出的可测结构。(users.math.msu.edu)