欧几里得空间是一种数学空间，将我们熟悉的平面几何和普通三维空间几何推广到任意有限维情形。其定义所规定的结构使长度、距离和角度的测量成为可能。在现代几何学中，它可以描述为一个仿射空间，其位移向量构成一个配备正定内积的有限维实向量空间。标准的坐标模型是配备通常点积的 (\mathbb{R}^n)。(math.umd.edu)
定义与坐标表示
记号 (\mathbb{R}^n) 表示所有有序元组 [ x=(x_1,\ldots,x_n) ] 组成的集合，其中每个坐标都是实数。整数 (n) 是空间的维数：(n=1) 时得到一条直线，(n=2) 时得到一个平面，(n=3) 时得到普通的三维欧几里得空间。更高维的情形沿用同样的代数定义，无须直接以图像呈现。(math.umd.edu)
这里需要区分两种相关的用法。欧几里得向量空间具有向量加法、标量乘法以及一个确定的零向量。欧几里得仿射空间由点和位移向量组成，但没有预先指定的原点。两个点相减得到一个向量；一个点加上一个向量得到另一个点。选定原点后，便可将各点与其位置向量对应起来，从而用向量空间表示仿射空间。(rolandvdv.nl)
标准正交基由两两垂直的单位向量组成。它与一个原点共同确定笛卡尔坐标系。每个有限维实内积空间都存在这样的基，因此可以在保持长度和角度不变的前提下，将其与标准坐标模型对应起来。坐标取决于所选的基，但内在的几何度量并不依赖这一选择。(groups.csail.mit.edu)
长度、距离与角度
对于向量 (u,v\in\mathbb{R}^n)，标准内积为 [ \langle u,v\rangle=\sum_{i=1}^{n}u_i v_i. ] 它诱导出欧几里得范数 [ |u|=\sqrt{\langle u,u\rangle}. ] 因此，点 (x) 与 (y) 之间的欧几里得距离为 [ d(x,y)=|x-y| =\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-y_i)^2}. ] 距离非负且具有对称性，并且当且仅当两点重合时为零；它还满足三角不等式。这些性质使欧几里得空间成为一个度量空间。(groups.csail.mit.edu)
对于非零向量，夹角 (\theta\in[0,\pi]) 由下式定义： [ \cos\theta=\frac{\langle u,v\rangle}{|u||v|}. ] 柯西—施瓦茨不等式保证该比值介于 (-1) 与 (1) 之间。正交是指 (\langle u,v\rangle=0)。将向量和的范数平方展开，便可得到任意维数下的勾股定理： [ |u+v|^2=|u|^2+|v|^2 \quad\text{当 }u\perp v\text{ 时}. ] 上述夹角公式不适用于零向量。(groups.csail.mit.edu)
子空间与几何变换
线性子空间继承所在空间的内积，其本身也是欧几里得向量空间。将线性子空间平移后得到仿射子空间，例如不一定经过原点的直线或平面。超平面的维数为 (n-1)。对于子空间 (W)，其正交补 (W^\perp) 由与 (W) 中每个向量都垂直的向量组成。每个向量都能唯一地分解为分别属于 (W) 和 (W^\perp) 的两个分量；其中属于 (W) 的分量就是该向量在 (W) 上的正交投影。(rolandvdv.nl)
等距映射保持距离不变。从 (\mathbb{R}^n) 到自身的每个满射欧几里得等距映射都具有如下形式： [ f(x)=Qx+b, ] 其中 (b) 是平移向量，(Q) 是满足 (Q^{\mathsf T}Q=I) 的正交矩阵。这类变换包括平移、旋转、反射及其复合。它们既保持距离，也保持角度。任意的仿射映射则未必如此：非均匀缩放和剪切通常会改变欧几里得几何中的度量。(math.umd.edu)
拓扑与分析性质
欧几里得度量确定了 (\mathbb{R}^n) 上通常的拓扑学结构。以 (a) 为中心、以 (r>0) 为半径的开球为 [ B(a,r)={x:|x-a|<r}. ] 一个集合是开集，当且仅当其中每一点都位于某个包含在该集合中的开球内。这种表述无须选定某条坐标轴，就能描述空间中的邻近关系。(math.uwaterloo.ca)
欧几里得空间是完备度量空间：每个柯西序列都收敛到该空间中的一个点。收敛性可以逐个坐标检验。海涅—博雷尔定理指出，(\mathbb{R}^n) 的子集是紧集，当且仅当它既闭又有界。这些性质是数学分析中许多结论的基础，但在任意度量空间中，仅凭闭性和有界性并不能刻画紧性。(sites.math.northwestern.edu)
与更一般空间的关系
欧几里得空间是流形的基本模型：流形具有可用欧几里得坐标描述的邻域，但其整体结构未必是欧几里得的。在黎曼几何中，各点的切空间都配备内积，而这些内积可以随点而变化。因此，仅有坐标并不能确定一个空间具有欧几里得几何结构；还必须指定其度量结构。(math.purdue.edu)
这种区别在 (\mathbb{R}^n) 内部同样存在。同一个底层坐标集合可以配备不同的范数或距离函数。即使所得的拓扑保持不变，替换标准距离仍会改变其度量几何。因此，“欧几里得”不仅指实数元组的集合，还指将向量运算、垂直关系和度量联系起来的一种特定结构。(sites.math.northwestern.edu)