叉积

叉积是定向三维欧几里得空间中向量的一种二元运算，记作 $\mathbf a\times\mathbf b$。其结果是一个向量，垂直于两个输入向量，模长等于它们张成的平行四边形面积，方向则由右手定则确定。与结果为标量的点积不同，叉积的结果是向量。它广泛用于几何学和物理学，用来描述有向面积、垂直方向和旋转量。(ocw.mit.edu)

几何定义

对于夹角为 $\theta\in[0,\pi]$ 的非零向量 $\mathbf a$ 和 $\mathbf b$，它们的叉积的模长为

当两个向量不平行时，其方向由右手定则确定：右手手指从 $\mathbf a$ 朝 $\mathbf b$ 沿较小角度弯曲时，拇指所指方向就是 $\mathbf a\times\mathbf b$ 的方向。等价地说，有序三元组 $(\mathbf a,\mathbf b,\mathbf a\times\mathbf b)$ 是正向定向的。其模长等于平行四边形的底乘以高。(web.mit.edu)

如果任一输入为零，或者两个输入平行或反平行，它们的叉积就是零。因此

这也包括零向量的情形；零叉积没有方向。在输入向量模长固定时，互相垂直的输入向量所产生的叉积模长最大。(openstax.org)

坐标公式

在正向定向的标准正交基 $(\mathbf e_1,\mathbf e_2,\mathbf e_3)$ 中，设

则

基向量满足

调换任意一对向量的顺序会改变结果的符号，而基向量与自身作叉积则得到零。(ocw.mit.edu)

一种常见的计算记忆法是形式上的行列式

这里第一行的元素是向量，而非标量；这种记法表示沿第一行展开，并使用交替的余子式符号。它不是通常意义上取标量值的行列式。(ocw.mit.edu)

例如，直接代入可得

通过点积可以验证，结果同时垂直于两个输入向量：

代数性质

叉积是双线性的：它分别对每个输入线性。对于实数标量 $\alpha,\beta$，

对第二个输入也有类似的等式。叉积还是交替的，并且反交换：

因此，乘法顺序很重要。(web.mit.edu)

叉积不满足结合律。嵌套叉积满足以下向量三重积恒等式：

因此，连续进行叉积运算时通常不能省略括号。叉积的模长与点积之间满足拉格朗日恒等式：

这个恒等式完全用两个向量的长度和点积表示它们所张成面积的平方。(openstax.org)

三重积与几何应用

标量三重积将点积与叉积结合起来：

它表示由三个向量生成的平行六面体的有向体积；其绝对值就是通常所说的体积。对输入向量作循环置换，标量三重积保持不变；交换任意两个输入，则其符号反转。标量三重积为零，意味着这三个向量线性相关。(ocw.mit.edu)

对于不共线的点 $A,B,C$，令

则 $\mathbf u\times\mathbf v$ 垂直于它们所在的平面，三角形面积为

单位法向量为

改变点的顺序会反转法向量的方向，但不改变面积。若这些点共线，则分母为零，此构造便不适用。(openstax.org)

定向与变换性质

叉积既需要欧几里得内积，也需要选定一种定向。通常的坐标公式以右手标准正交基为前提；反转所选定向会使叉积的符号反转。(cs.cmu.edu)

对于正交变换 $Q$，叉积的变换规律为

因此，叉积在旋转下像普通向量一样变换，因为旋转满足 $\det(Q)=1$；而在反转定向的变换下，叉积会额外多出一个负号。当输入是普通极向量时，它们的叉积因此称为轴向量或赝向量。特别地，空间反演会同时改变两个输入向量的符号，却不改变它们的叉积：

这种区别涉及变换性质，而不是结果是否属于某个向量空间。(sites.science.oregonstate.edu)

在力学中的应用

在经典力学中，叉积用来表示旋转量的方向和大小。相对于某一选定原点，力 $\mathbf F$ 产生的转矩为

其中 $\mathbf r$ 是从该原点指向力作用点的向量。粒子相对于同一原点的角动量为

其中 $\mathbf p$ 是粒子的线动量。二者都取决于参考点。它们的轴向方向表示旋转效应的定向，而不是平动的方向。(feynmanlectures.caltech.edu)

对于以角速度 $\boldsymbol\omega$ 旋转的刚体，相对于其固定转轴上某一点的速度为

叉积模长中的正弦因子会自动选取到转轴的垂直距离。(feynmanlectures.caltech.edu)

高维推广

外积在任意维数中都提供了一种相关运算。对于向量 $\mathbf a,\mathbf b$，楔积 $\mathbf a\wedge\mathbf b$ 是表示有向面积的双向量，而通常并不是另一个向量。在定向三维欧几里得空间中，霍奇星算子将双向量与向量对应起来：

然而，在 $n$ 维空间中，霍奇星算子会将双向量映射为 $(n-2)$ 向量。只有当 $n=3$ 时，这种构造才会得到向量。(cs.cmu.edu)

不过，七维空间中还存在另一种二元叉积，它是通过将 $\mathbb R^7$ 与虚八元数对应起来构造的：

这种叉积是双线性的、反交换的，并保留了垂直性和面积模长性质。它的对称结构不同于三维情形，也不满足所有相同的嵌套积恒等式。同样，将 $\mathbb R^3$ 与虚四元数对应起来，可以通过同一个半交换子公式得到通常的叉积。(math.ucr.edu)

历史发展

叉积的代数背景源自十九世纪的四元数方法。四元数方法在同一个乘法中结合了标量部分和向量部分。现代向量记法则将点积和叉积分离为两种不同运算。乔赛亚·威拉德·吉布斯和奥利弗·亥维赛德在这一发展及其在数理物理中的应用方面发挥了重要作用。吉布斯的向量分析小册子约于 1881 至 1884 年间印行；亥维赛德于 1888 年 6 月收到一册，并在上面作了大量批注。(math.ucr.edu)

参考来源

1. 5 The Vector Productocw.mit.edu
2. World Web Math: Vector Calculus: Cross Productweb.mit.edu
3. 4 The Cross Product — Calculus Volume 3openstax.org
4. MIT 3.016 Fall 2005 — Lecture 11ocw.mit.edu
5. Geometry of Differential Forms — Pseudovectors and Pseudoscalarssites.science.oregonstate.edu
6. Discrete Differential Geometrycs.cmu.edu
7. The Octonionsmath.ucr.edu
8. Back to the Roots of Vector and Tensor Calculus. Heaviside versus Gibbsarxiv.org