正交矩阵

正交矩阵是元素均为实数的方形矩阵，其列向量构成一组标准正交基，等价地，其行向量也构成一组标准正交基。它的定义方程是 $Q^{T}Q=I$，其中 $Q^{T}$ 表示转置，$I$ 表示单位矩阵。在线性代数中，正交矩阵表示保持长度和角度的变换，因此在几何、坐标变换和数值计算中具有基础性作用。虽然名称中只有“正交”二字，但其列向量不仅必须两两垂直，还必须具有单位长度。(graphsearch.epfl.ch)

定义与等价条件

对于 $Q\in\mathbb{R}^{n\times n}$，正交性意味着

这里，$Q^{T}$ 是 $Q$ 的矩阵转置，$I_n$ 是单位矩阵。等价地，$Q$ 可逆，且其逆矩阵满足 $Q^{-1}=Q^{T}$。由于 $Q$ 是方阵，上述两个乘积等式中的任意一个都能推出另一个。(math.mit.edu)

将其列向量记为 $q_1,\ldots,q_n$，定义条件便可写成

因此，这些列向量构成向量空间 $\mathbb{R}^{n}$ 的一组基。行向量也具有同样的性质。尤其要注意，这里的正交性描述的是一套完整的坐标标架，而不只是一组相互垂直的方向。(graphsearch.epfl.ch)

几何解释

正交矩阵定义了一个线性映射 $x\mapsto Qx$，它保持标准内积不变：

因此，它保持向量的长度、非零向量之间的夹角以及欧几里得距离：

它使原点保持不动，因此单独的平移不能用正交矩阵表示。既保持距离又包含平移的变换则具有仿射形式 $x\mapsto Qx+b$。(web.ma.utexas.edu)

一个基本例子是平面旋转矩阵

它将列向量逆时针旋转角度 $\theta$。相比之下，矩阵 $\operatorname{diag}(1,-1)$ 表示平面关于水平轴的反射。两者都保持长度不变，但对定向的影响不同。(math.mit.edu)

行列式与群结构

对 $Q^{T}Q=I$ 两边取行列式，得到

因此，每个正交矩阵的行列式都为 $+1$ 或 $-1$。前者保持定向，后者反转定向。两者都保持体积的大小不变。不过，仅凭行列式为 $+1$ 并不能判定矩阵具有正交性：一个矩阵可以在保持体积不变的同时，沿某些方向拉伸、沿另一些方向压缩。(math.mit.edu)

正交矩阵的乘积和逆矩阵仍然是正交矩阵。因此，全体 $n\times n$ 正交矩阵以单位矩阵为单位元，构成正交群 $O(n)$，这是群论中的一个重要对象。其中行列式为 $+1$ 的矩阵构成的子群称为特殊正交群 $SO(n)$。在二维情形下，这个子群由平面旋转组成；行列式为 $-1$ 的矩阵则表示关于过原点直线的反射。(math.mit.edu)

特征值与相关矩阵类别

正交矩阵的特征值的绝对值均为一。虽然矩阵的元素都是实数，其特征值却可能是复数。若对某个非零复向量有 $Qv=\lambda v$，由复向量的欧几里得范数保持不变可得

因此，$|\lambda|=1$。实特征值只能是 $+1$ 或 $-1$，而非实特征值则成共轭对出现。平面旋转的特征值为 $e^{i\theta}$ 和 $e^{-i\theta}$，所以它通常没有实特征向量。(ocw.mit.edu)

在复坐标空间中，对应的保持长度的矩阵类别是酉矩阵，其定义为 $U^{*}U=I$，这里使用的是共轭转置而非普通转置。每个实正交矩阵在被视为复矩阵时都是酉矩阵。(netlib.org)

构造与数值应用

格拉姆—施密特正交化可由线性无关的向量构造出一组标准正交基。将这样一组完整的基按列排列，就得到一个正交矩阵。正交因子也出现在QR分解中，该分解将实矩阵表示为 $A=QR$，其中 $R$ 为三角矩阵或梯形矩阵。简化 QR 分解中的 $Q$ 则可能是列向量标准正交的矩形矩阵。(math.mit.edu)

在计算实现中，通常利用豪斯霍尔德变换或吉文斯旋转构造正交因子。豪斯霍尔德反射具有如下形式：

它表示关于与 $v$ 垂直的超平面的反射。这些初等变换可以在保持矩阵所表示的欧几里得几何关系的同时，将矩阵中的某些元素化为零。(netlib.org)

正交变换在数值线性代数中占据核心地位，应用包括最小二乘问题和奇异值分解。其保持范数的性质有助于数值稳定性，因为施加精确的正交变换不会放大以欧几里得范数衡量的已有误差。但这并不能消除计算过程中引入的舍入误差。(netlib.org)

矩形矩阵与投影

对于满足 $m>n$ 的 $m\times n$ 矩阵 $Q$，条件 $Q^{T}Q=I_n$ 表示其列向量标准正交，但此时 $QQ^{T}\ne I_m$。事实上，$QQ^{T}$ 表示到这些列向量所张成空间的正交投影。因此，必须将简化分解中的正交因子与方形正交矩阵区分开来：前者在将 $\mathbb{R}^{n}$ 映射到 $\mathbb{R}^{m}$ 时保持长度不变，但并不构成整个较大空间上的可逆变换。(netlib.sandia.gov)