特征值与特征向量

在线性代数中，线性变换的特征向量是一个非零向量，变换将它映射为自身的某个标量倍数；相应的标量称为特征值。对于方矩阵 $A$ ，这一关系表示为 $Av=\lambda v$ 。特征值与特征向量揭示了变换下保持不变的方向，有助于描述变换的结构、反复施加变换的效果，以及变换在不同坐标系中的表示。(math.mit.edu)

定义与几何意义

设 $T:V\to V$ 是实数域或复数域上向量空间中的线性变换。当

T(v)=\lambda v

时，向量 $v\ne0$ 称为对应于特征值 $\lambda$ 的特征向量。零向量不在此定义之内，因为它对任意标量都满足这个等式，因而无法确定某个特定的特征值。将特征向量乘以任意非零标量，得到的仍是对应于同一特征值的特征向量。(math.mit.edu)

对于实特征向量和实特征值，其几何意义是沿一条过原点的直线进行缩放。正特征值保持向量方向不变，负特征值使方向反转，而零特征值将向量映射为零向量。特征值的绝对值表示长度的缩放倍数。例如，

A=\begin{pmatrix}3&0\\0&-2\end{pmatrix}

的特征向量包括 $(1,0)^T$ 和 $(0,1)^T$ ，对应的特征值分别为 $3$ 和 $-2$ ：第一个坐标方向被拉伸至原来的三倍，第二个坐标方向则反转并被拉伸至原来的两倍。这些结论可以直接由矩阵乘法得出。(math.mit.edu)

标量域的选择很重要。实平面上旋转四分之一周的变换没有实特征向量，但若在复数域上考察，其矩阵的特征值为 $i$ 和 $-i$ 。(ocw.mit.edu)

特征多项式与特征空间

将特征值方程移项，得到

(A-\lambda I)v=0,

其中 $I$ 为单位矩阵。这一方程存在非零解，当且仅当 $A-\lambda I$ 是奇异矩阵，等价地说，其行列式为零。因此，特征值是特征多项式

p_A(t)=\det(tI-A)

的根。对于 $n\times n$ 矩阵，这是一个 $n$ 次多项式。代数基本定理保证，按重数计，它有 $n$ 个复数根。实矩阵的非实特征值成共轭对出现。(ocw.mit.edu)

对于一个给定的特征值，其特征空间为

E_\lambda=\ker(A-\lambda I).

这个空间包含所有对应的特征向量以及零向量。已知特征值后，求这个空间就相当于求解一个齐次线性方程组。(ocw.mit.edu)

特征值的代数重数是它作为特征多项式根的重数；其几何重数则是对应特征空间的维数。几何重数至少为一，且不大于代数重数。按代数重数计，各特征值之和等于矩阵的迹，各特征值之积等于矩阵的行列式。因此，方阵可逆当且仅当零不是其特征值。(esp.mit.edu)

对角化与谱定理

对应于不同特征值的特征向量线性无关。一个 $n\times n$ 矩阵在选定的数域上可对角化，当且仅当在该数域上存在由 $n$ 个特征向量组成的基。将这些向量作为列向量组成可逆矩阵 $P$ ，便有

A=PDP^{-1},

其中 $D$ 是对角矩阵，其对角线元素按相同顺序排列为对应的特征值。这称为特征值分解：在特征向量基下，变换独立地作用于各个坐标。(esp.mit.edu)

特征值互不相同是矩阵可对角化的充分条件，但不是必要条件。即使存在重复特征值，只要每个特征空间都具有所需的维数，矩阵仍可对角化。相比之下，

\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}

有二重特征值 $1$ ，但其特征空间只有一维，因此不可对角化。这一结论可通过求解其特征向量方程得到。(esp.mit.edu)

谱定理对实对称矩阵给出了更强的结论：它们的特征值均为实数，且存在一组由特征向量组成的标准正交基。因此，

A=QDQ^T,

且 $Q^{-1}=Q^T$ ，其中 $Q^T$ 表示矩阵转置。复厄米矩阵也有类似的分解，只需使用共轭转置。(ocw.mit.edu)

计算

特征多项式提供了理论上的描述，也适用于小规模的精确计算实例。求出其根后，可通过高斯消元法得到特征向量。大型数值问题则采用数值线性代数中直接处理矩阵的方法。例如，LAPACK 的非对称矩阵例程通过舒尔分解计算特征值；对称矩阵例程则先将矩阵化为三对角形式，再求解化简后的问题。(ocw.mit.edu)

QR 算法是一种重要的特征值计算方法。LAPACK 还为对称矩阵问题提供了分治方法。选择何种计算方法取决于矩阵的结构，以及所需的是全部特征值、部分特征值，还是特征向量。(netlib.org)

应用

特征值与特征向量组成的特征对描述了线性动力系统的基本模态。如果 $Av=\lambda v$ ，那么 $A^kv=\lambda^kv$ 。对于常系数微分方程 $x'(t)=Ax(t)$ ，向量值函数 $x(t)=e^{\lambda t}v$ 是一个解。因此，特征值的模决定离散情况下反复缩放的效果，而特征值的实部决定连续时间中的指数增长或衰减。(ocw.mit.edu)

在主成分分析中，协方差矩阵的特征向量确定数据变动的主要方向，对应的特征值衡量这些方向上的方差。保留最大特征值所对应的方向，可以实现降维。这种分析与奇异值分解密切相关：对于中心化后的数据矩阵 $X$ ，其右奇异向量是 $X^TX$ 的特征向量，而奇异值的平方经所选的归一化方式处理后，便得到协方差矩阵的特征值。(web.stanford.edu)