能量量子化是指物理系统的能量只能取某些离散允许值的现象。在量子力学中，这些数值构成系统能谱的离散部分，通常称为能级。量子化在受限粒子和束缚态中尤为明显，原子的内部状态就是一例。这并不意味着自然界中的所有能量都是离散的：量子系统也可以具有连续能谱，或同时具有离散部分和连续部分。能量的允许值取决于系统中的相互作用和边界条件。(ocw.mit.edu)
历史发展
1900年，马克斯·普朗克在解释黑体辐射时，引入了与频率成正比的能量元。关系式 (\varepsilon=h\nu) 通过后来被称为普朗克常数的 (h)，将能量元 (\varepsilon) 与频率 (\nu) 联系起来。普朗克的提议涉及对物质振子的统计处理，还不是现代的光粒子理论。1905年，阿尔伯特·爱因斯坦提出，光本身可以表现为局域化的能量量子，并用这一观点解释了光电效应。这些量子如今称为光子。(nobelprize.org)
1913年，尼尔斯·玻尔将离散的定态引入其原子模型。原子在不同状态之间发生跃迁时，会发射或吸收辐射，辐射频率由状态间的能量差决定。这将原子光谱线与量子化的能量联系起来。现代量子力学以波函数描述的状态取代了预先规定的电子轨道，并从动力学方程中推导出能级。(nobelprize.org)
数学描述
系统的能量由其哈密顿算符 (\hat H) 表示。对于不随时间变化的哈密顿算符，具有确定能量的状态满足定态薛定谔方程：
[ \hat H\psi_n=E_n\psi_n. ]
其中，(\psi_n) 是能量本征态，(E_n) 是对应的能量本征值。这是特征值与特征向量所描述的数学关系的一个实例。对于质量为 (m)、在势能 (V(x)) 中沿一维空间运动的非相对论性粒子，
[ \hat H=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}+V(x), \qquad \hbar=\frac{h}{2\pi}. ]
对波函数的物理要求，包括边界条件以及束缚态的可归一化要求，限制了哪些解是允许的。在常见的束缚势中，这些限制会产生离散能量。因此，量子化源于本征值问题，而不是人为规定能量必须以大小相同的份额出现。(ocw.mit.edu)
一般的状态不一定具有单一的确定能量。它可以是多个能量本征态的叠加态：
[ \psi=\sum_n c_n\psi_n. ]
对于具有离散能谱的归一化状态，理想的能量测量以 (|c_n|^2) 的概率得到 (E_n)。平均能量为 (\langle E\rangle=\sum_n|c_n|^2E_n)。由于这些系数可以连续变化，平均能量不一定等于某个允许的单次测量结果。(ocw.mit.edu)
典型系统
箱中粒子说明了空间限制如何产生量子化。对于宽度为 (L) 的一维无限深势阱，波函数在两侧阱壁处均为零。只有满足这些边界条件的驻波解才是允许的，由此得到
[ E_n=\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2mL^2}, \qquad n=1,2,3,\ldots. ]
这些能级并非等间距：相邻能级之间的间隔随 (n) 增大而增大。增大箱子的宽度会降低能量尺度，使能级更加密集。(ocw.mit.edu)
对于势能为 (V(x)=m\omega^2x^2/2) 的量子谐振子，
[ E_n=\hbar\omega\left(n+\frac12\right), \qquad n=0,1,2,\ldots. ]
这些能级等间距排列，间隔为 (\hbar\omega)。以势能最低点为能量基准，其最低能态具有 (\hbar\omega/2) 的零点能。这是谐振子量子基态的性质，并非热激发的结果。谐振子还为描述辐射模式的光子数态提供了理论框架。(ocw.mit.edu)
在对氢原子最简单的非相对论性描述中，以电离阈值为能量零点，束缚态能量近似为
[ E_n=-\frac{13.6\ \mathrm{eV}}{n^2}, \qquad n=1,2,3,\ldots, ]
随着 (n) 增大，能级逐渐接近这一阈值；阈值以上则是非束缚态的连续谱。更精细的描述还会考虑其他相互作用，它们会使能级发生分裂或移动。(ocw.mit.edu)
跃迁与实验证据
当系统在能级 (E_i) 和 (E_f) 之间发生单光子跃迁时，由能量守恒可得
[ h\nu=|E_f-E_i|. ]
吸收使系统的能量升高，发射使其能量降低。由此产生的特征频率构成了光谱学的基础；光谱学利用辐射研究原子和分子的结构。分子光谱揭示了转动、振动和电子状态之间的能量差。并非每一对能级之间的跃迁都同样容易发生：选择定则和跃迁矩阵元决定了哪些过程能够发生及其强度。(nobelprize.org)
测得的光谱线为离散能量差的存在提供了证据。研究人员可以根据谱线的波长和强度确定能级，并检验理论描述。美国国家标准与技术研究院的原子光谱数据库汇编了经过严格评估的原子能级、波长和跃迁概率数据。(nist.gov)
适用范围与经典行为
能量量子化并不意味着存在一个普适的最小能量单位。光子的能量取决于其频率，不同系统的能级间隔也不同。即使在同一个系统中，能级间隔也可能有很大变化，箱中粒子和氢原子的例子就说明了这一点。不受空间限制的自由粒子具有连续能谱，但其行为仍然遵循量子力学。(nobelprize.org)
当相邻量子能级的间隔远小于实验分辨能力所对应的能量间隔或相关能量尺度时，量子行为与经典力学之间的差异可能变得难以观测。对于谐振子，在高度激发时，一个能级间隔相对于总能量的大小会减小；对于大箱子中的粒子，由空间限制决定的能量尺度按 (L^{-2}) 下降。这些极限情形有助于解释，为何表面上连续的能量与底层的量子描述并不矛盾。(ocw.mit.edu)