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科学 / quantum-superposition

量子叠加

量子叠加是量子态的相干组合，其概率幅能够发生干涉，并决定测量结果。

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量子力学线性组合干涉希尔伯特空间向量空间基（线性代数）复数玻恩规则量子叠加

量子叠加是量子力学的一项基本原理：允许的态矢量经过适当归一化后的线性组合，本身也是一个允许的量子态。因此，相对于一组指定的备选状态，系统可以具有多个非零概率幅，而不只是处于其中某一个状态。这些概率幅能够产生干涉，这使相干叠加有别于仅仅不确定制备了哪一种状态的情形。这一描述涉及量子态及对测量结果的预测，并不是说系统实际上由多个可同时观测的经典构型组成。(learning.quantum.ibm.com)

数学表述

纯量子态由希尔伯特空间中的归一化向量表示；希尔伯特空间是配备了内积的复向量空间。给定一组标准正交基 {∣i⟩}\{|i\rangle\}，量子态可以写为

∣ψ⟩=∑ici∣i⟩,∑i∣ci∣2=1.|\psi\rangle=\sum_i c_i|i\rangle, \qquad \sum_i|c_i|^2=1.

系数 cic_i 是称为概率幅的复数。根据玻恩规则，在这组基下进行测量时，得到结果 ii 的概率为 ∣ci∣2|c_i|^2。概率幅本身并不是概率：它们的符号和复相位会影响各项如何组合。(learning.quantum.ibm.com)

对于一个量子比特，一般的纯态为

∣ψ⟩=α∣0⟩+β∣1⟩,∣α∣2+∣β∣2=1.|\psi\rangle=\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle, \qquad |\alpha|^2+|\beta|^2=1.

一个态是否为叠加态，取决于所选的基。在一组基下具有多个非零系数的向量，在另一组基下可能只是一个基向量。因此，“处于叠加态”只有相对于指定的状态或测量的可能结果才有意义，并非独立于表示方式的绝对性质。(learning.quantum.ibm.com)

在位置表象中，同一原理也适用于波函数。薛定谔方程是线性的：如果两个波函数满足同一个方程，那么在满足归一化要求和相关边界条件的前提下，它们的线性组合也满足该方程。这是叠加原理在动力学中的体现。(galileo.phys.virginia.edu)

相位与干涉

考虑以下两个态：

∣+⟩=∣0⟩+∣1⟩2,∣−⟩=∣0⟩−∣1⟩2.|+\rangle=\frac{|0\rangle+|1\rangle}{\sqrt2}, \qquad |-\rangle=\frac{|0\rangle-|1\rangle}{\sqrt2}.

在计算基下测量时，这两个态都会以相同的概率给出结果 0 和 1。然而，它们是彼此不同且正交的态。在 {∣+⟩,∣−⟩}\{|+\rangle,|-\rangle\} 基下进行测量，可以完全区分它们。两者的差别在于分量之间的相对相位，而不是计算基下各测量结果的概率。(quantum.cloud.ibm.com)

将每个分量都乘以同一个相位因子 eiθe^{i\theta}，只会引入一个整体相位，不会改变对可观测结果的预测。相比之下，相对相位能够改变干涉。若两种不同途径分别为同一结果贡献概率幅 aa 和 bb，则

∣a+b∣2=∣a∣2+∣b∣2+2Re⁡(a∗b).|a+b|^2=|a|^2+|b|^2+2\operatorname{Re}(a^*b).

最后一项产生相长干涉或相消干涉。如果这些途径只是按经典概率相加，就不会出现这一项。(quantum.cloud.ibm.com)

双缝实验展示了这种区别。一个电子可以产生一次局域的探测事件，而当两条路径保持相干时，多次重复探测会呈现出干涉图样。如果某种物理相互作用留下了能够区分路径的记录，干涉就会减弱或消失。这并不需要有意识的观察者：关键在于路径信息是否被物理过程记录下来。(feynmanlectures.caltech.edu)

叠加态与统计混合态

必须区分相干叠加态与统计混合态。制备 ∣+⟩|+\rangle，并不等同于以相同概率随机制备 ∣0⟩|0\rangle 或 ∣1⟩|1\rangle，尽管这两种制备方式在计算基下给出的统计结果完全相同。在另一组测量基下，它们行为上的差异就会显现。(learning.quantum.ibm.com)

密度矩阵可以明确展示这一区别：

ρ+=12(1111),ρmix=12(1001).\rho_+=\frac12 \begin{pmatrix} 1&1\\ 1&1 \end{pmatrix}, \qquad \rho_{\mathrm{mix}}=\frac12 \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&1 \end{pmatrix}.

ρ+\rho_+ 的非对角元表征了计算基下的相干性。混合态没有这些非对角元，在正负基下测量时，两个结果出现的概率相等；而 ∣+⟩|+\rangle 必然给出正态对应的结果。与叠加分量的判定一样，非对角元所表征的相干性也取决于所选的基。(learning.quantum.ibm.com)

动力学、纠缠与测量

对于不随时间变化的哈密顿量，能量本征态会获得相位因子 e−iEt/ℏe^{-iEt/\hbar}。能量不同的分量获得的相位不同，因此它们的相对相位会随时间演化。即使各个能量测量结果的概率保持不变，这种演化也可能产生随时间变化的干涉，并改变其他测量结果的概率。(feynmanlectures.caltech.edu)

对于复合系统，各子系统的态空间通过张量积组合起来。当联合纯态无法分解为各子系统状态的乘积时，就出现了量子纠缠。例如，贝尔态 (∣00⟩+∣11⟩)/2(|00\rangle+|11\rangle)/\sqrt2 就是一种纠缠叠加态。叠加本身并不意味着纠缠：单个量子比特可以处于叠加态，而不需要存在第二个系统。(learning.quantum.ibm.com)

当相互作用使系统与环境建立关联，从而抑制某些备选状态之间可在系统局部观测到的干涉时，就会发生量子退相干。退相干有助于解释近似经典行为的出现。然而，干涉受到抑制，本身并不会从联合量子态中选出一个唯一的结果；这一区别是测量问题的核心。(arxiv.org)

量子信息处理

量子门可以创建、变换或重新组合叠加态。在量子计算机中，一个由 nn 个量子比特组成的纯态，对 2n2^n 个计算基比特串都具有相应的概率幅。这并不意味着一次测量能够揭示所有这些比特串，或与之相关的全部计算结果。有效的算法会对干涉进行安排，使所需的信息能够通过测量提取出来。因此，在环境相互作用的影响下保持相干性，是量子信息处理的一项核心要求。(learning.quantum.ibm.com)