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数学 / tensor-product

张量积

张量积将向量空间或模组合成一个新对象，使多重线性关系可用线性映射表示。

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线性代数域（数学）向量空间多重线性映射泛性质线性映射同构对偶空间张量积

张量积是线性代数中的一种构造，将同一域（数学）上的两个向量空间组合成一个新的向量空间，记作 V⊗KWV\otimes_K W。它的核心特征是：原空间中向量之间的双线性关系，在新空间中转化为线性关系。形如 v⊗wv\otimes w 的元素称为纯张量；一般元素则是纯张量的有限和。这一构造还可推广到模以及多个空间的张量积。(math.stonybrook.edu)

定义与泛性质

设 VV 和 WW 是域 KK 上的向量空间。它们的张量积由一个向量空间 V⊗KWV\otimes_K W 和一个双线性映射组成：

τ:V×W⟶V⊗KW,τ(v,w)=v⊗w.\tau:V\times W\longrightarrow V\otimes_K W, \qquad \tau(v,w)=v\otimes w.

双线性是指固定其中一个变量时，映射对另一个变量是线性的。这是多重线性映射在两个变量情形下的特例。(math.stonybrook.edu)

这一对对象满足如下泛性质：对于任意向量空间 XX 和任意双线性映射 b:V×W→Xb:V\times W\to X，都存在唯一的线性映射

b~:V⊗KW⟶X\widetilde b:V\otimes_K W\longrightarrow X

使得 b~(v⊗w)=b(v,w)\widetilde b(v\otimes w)=b(v,w)。这一性质在相容的唯一同构意义下确定了这对对象，不依赖于坐标或基的选择。特别地，对偶空间 (V⊗KW)∗(V\otimes_K W)^* 与 V×WV\times W 上取标量值的双线性形式空间自然对应。(math.stonybrook.edu)

构造与基本关系

一种显式构造是从以所有有序对 (v,w)(v,w) 为形式生成元的自由向量空间出发，再对由表达双线性要求的各个式子所生成的线性子空间取商，得到一个商向量空间。在商空间中，这些关系变为

(v+v′)⊗w=v⊗w+v′⊗w,v⊗(w+w′)=v⊗w+v⊗w′,(av)⊗w=a(v⊗w)=v⊗(aw).\begin{aligned} (v+v')\otimes w&=v\otimes w+v'\otimes w,\\ v\otimes(w+w')&=v\otimes w+v\otimes w',\\ (av)\otimes w&=a(v\otimes w)=v\otimes(aw). \end{aligned}

这些形式有序对在商空间中的像生成整个张量积，因此每个元素都是纯张量的有限线性组合。这种表示不一定唯一。这一取商构造证明了满足上述泛性质的对象确实存在。(math.stonybrook.edu)

基、维数与可分解性

若 {ei}\{e_i\} 是 VV 的一组基（线性代数），而 {fj}\{f_j\} 是 WW 的一组基，则 {ei⊗fj}\{e_i\otimes f_j\} 是它们的张量积的一组基。因此，对于有限维空间，

dim⁡(V⊗KW)=dim⁡(V)dim⁡(W).\dim(V\otimes_K W)=\dim(V)\dim(W).

所以，一个二维空间与一个三维空间的张量积是六维的。将 v=∑ivieiv=\sum_i v_i e_i 和 w=∑jwjfjw=\sum_j w_j f_j 展开，得到

v⊗w=∑i,jviwj(ei⊗fj).v\otimes w=\sum_{i,j}v_iw_j(e_i\otimes f_j).

因此，纯张量的各个系数可分解为两个因子各自对应系数的乘积。(hitoshi.berkeley.edu)

并非所有张量都能这样分解。例如，当两个空间中的相应基向量各自线性无关时，

e1⊗f1+e2⊗f2e_1\otimes f_1+e_2\otimes f_2

就不能写成单个纯张量。用坐标可以看出这一点：将 ei⊗fje_i\otimes f_j 映到相应的矩阵单位，就能把 Km⊗KKnK^m\otimes_K K^n 与 m×nm\times n 矩阵空间对应起来。纯张量对应于外积矩阵 vwTvw^{\mathsf T}，其矩阵的秩至多为一；而上面的例子秩为二。这就提供了一种用坐标判定两个因子的张量是否可分解的方法。(hitoshi.berkeley.edu)

映射的张量积与结构恒等式

映射 A:V→V′A:V\to V' 和 B:W→W′B:W\to W' 诱导出映射

A⊗B:V⊗W⟶V′⊗W′,(A⊗B)(v⊗w)=A(v)⊗B(w).A\otimes B:V\otimes W\longrightarrow V'\otimes W', \qquad (A\otimes B)(v\otimes w)=A(v)\otimes B(w).

在有序的乘积基下，它的矩阵是克罗内克积：将 AA 的矩阵中的每个元素 aija_{ij} 替换为矩阵块 aijBa_{ij}B。这一运算不同于普通矩阵乘法；后者表示映射的复合，而不是将分别作用于不同因子的映射组合起来。(math.ucsd.edu)

张量积具有以下典范的结构同构：

(U⊗V)⊗W≅U⊗(V⊗W),V⊗W≅W⊗V,K⊗V≅V.(U\otimes V)\otimes W\cong U\otimes(V\otimes W), \qquad V\otimes W\cong W\otimes V, \qquad K\otimes V\cong V.

交换映射将 v⊗wv\otimes w 映到 w⊗vw\otimes v；这并不意味着因子顺序不同的张量本身相等。结合性使多个空间的张量积可以采用无歧义的记法；其泛性质对多重线性映射的表示方式，与两个空间的张量积表示双线性映射的方式相同。(stacks.math.columbia.edu)

模与希尔伯特空间

在抽象代数中，类似的构造可将交换环（数学） RR 上的模组合起来。张量积 M⊗RNM\otimes_R N 表示 RR-双线性映射。基环十分重要：它决定了构造中施加哪些标量关系，因此在可能产生歧义时，需要在记号中注明基环。这一构造仍具有结合性以及对直和的分配性。(stacks.math.columbia.edu)

对于希尔伯特空间，其代数张量积上带有一个内积，在纯张量上由下式确定：

⟨u⊗v,u′⊗v′⟩=⟨u,u′⟩⟨v,v′⟩.\langle u\otimes v,u'\otimes v'\rangle =\langle u,u'\rangle\langle v,v'\rangle.

按该内积诱导的范数对这一空间进行完备化，就得到希尔伯特空间的张量积。在无限维情形下，完备化是不可缺少的额外步骤：完备化后的元素不一定是纯张量的有限和。各空间的标准正交基向量的张量积构成完备化空间的一组标准正交基。(aalexan3.math.ncsu.edu)

复合量子系统

在量子力学中，复合系统的状态空间用各组成系统的希尔伯特空间的张量积来建模。对于两个量子比特，张量积空间的维数为四。能够分解为 ψA⊗ψB\psi_A\otimes\psi_B 的纯态称为乘积态；不能这样分解的纯态则具有量子纠缠。对于独立制备的混合态，复合系统的密度矩阵为 ρA⊗ρB\rho_A\otimes\rho_B。一般的复合系统状态不一定具有这种乘积形式。(learning.quantum.ibm.com)