度量张量 · aiwiki.page

度量张量是一种数学结构，用于规定光滑流形上的局部几何测量。它为每个切空间赋予一个对称、非退化的双线性形式，并且这一形式随点的位置光滑变化。正定度量在黎曼几何中定义长度和角度；不定度量则是伪黎曼几何的基础，时空几何也属于这一范畴。度量张量是微分几何和广义相对论中的核心对象。(damtp.cam.ac.uk)

定义与代数结构

在 $n$ 维流形 $M$ 的一点 $p$ 处，度量是一个映射

g_p:T_pM\times T_pM\longrightarrow\mathbb R.

它对每个自变量都是线性的，并且具有对称性：

g_p(u,v)=g_p(v,u).

非退化性是指：若对所有 $v$ 都有 $g_p(u,v)=0$ ，则 $u=0$ 。切空间是一个向量空间，因此这些条件描述的是每一点处的双线性代数性质。从整体上看， $g$ 是一个 $(0,2)$ 型协变张量场，而不只是一个数值数组。(damtp.cam.ac.uk)

黎曼度量还要求对每个非零向量 $v$ 都有 $g_p(v,v)>0$ 。因此，它在每个切空间上给出一个内积。伪黎曼度量在保持非退化性的同时，允许平方范数取正值或负值。它的符号差记录了在将其对角化的基中，正方向和负方向各有多少个。洛伦兹度量有一个方向的符号与其余所有方向相反。在这种不定度量下，非零向量的平方范数也可能为零。(damtp.cam.ac.uk)

坐标表示

在局部坐标 $x^1,\ldots,x^n$ 中，坐标向量 $\partial_i=\partial/\partial x^i$ 构成一组基，并且

g_{ij}=g(\partial_i,\partial_j),\qquad g=g_{ij}\,dx^i\otimes dx^j.

这里， $\otimes$ 表示张量积，重复出现的指标按照爱因斯坦求和约定求和。这些分量构成一个对称矩阵，具有 $n(n+1)/2$ 个独立元素。对于切向量 $u$ 和 $v$ ，

g(u,v)=g_{ij}u^iv^j.

相应的线元通常写作 $ds^2=g_{ij}dx^idx^j$ 。(damtp.cam.ac.uk)

在坐标变换 $x\mapsto x'$ 下，

g'_{ab} =\frac{\partial x^i}{\partial x'^a} \frac{\partial x^j}{\partial x'^b}\,g_{ij}.

尽管矩阵元素会改变，双线性配对和线元却保持不变。这一变换使用的是逆坐标变换的雅可比矩阵。因此，度量张量是一个与坐标无关的几何对象；其分量矩阵只是它的一种表示。(damtp.cam.ac.uk)

长度、角度与距离

对于黎曼度量，切向量的范数为

\|v\|_g=\sqrt{g(v,v)},

而非零向量之间的夹角由下式确定：

\cos\theta=\frac{g(u,v)}{\|u\|_g\|v\|_g}.

分段光滑曲线 $\gamma:[a,b]\to M$ 的长度由以下积分给出：

L_g(\gamma)=\int_a^b \sqrt{g_{\gamma(t)}(\dot\gamma(t),\dot\gamma(t))}\,dt.

这一长度在正则重参数化下保持不变。在连通流形上，取连接两点的曲线长度的下确界，便可定义一个距离函数。(damtp.cam.ac.uk)

必须注意，度量张量与度量空间中的度量有所不同： $g_p$ 将同一点处的两个切向量配对，而距离函数则将流形上的两个点配对。黎曼几何由前者构造后者。不定的时空度量无法通过同样的正长度构造，直接定义通常意义上的度量空间距离。(people.maths.ox.ac.uk)

示例

在欧几里得空间的笛卡尔坐标中， $g_{ij}=\delta_{ij}$ ，即单位矩阵，由此得到通常的欧几里得距离。在平面的极坐标中，

ds^2=dr^2+r^2d\phi^2.

这些并非常数的分量描述的仍是同一个平坦几何，这说明仅凭分量随坐标变化，并不能断定存在曲率。(people.maths.ox.ac.uk)

对于半径为 $R$ 的球面，从周围欧几里得空间继承的度量为

ds^2=R^2d\theta^2+R^2\sin^2\theta\,d\phi^2,

其中 $\theta$ 为余纬。球坐标描述在两极处失效，但度量本身在那里仍然光滑。更一般地，将环境空间的黎曼度量限制在嵌入子流形的切向量上，就得到一个诱导度量。(people.maths.ox.ac.uk)

逆度量与几何微分

非退化性保证了逆矩阵 $g^{ij}$ 的存在，它满足

g^{ik}g_{kj}=\delta^i{}_j.

度量将切空间与其对偶空间对应起来，使向量可以转换为余向量，反之亦然：

v_i=g_{ij}v^j,\qquad v^i=g^{ij}v_j.

这些运算称为指标的降阶与升阶。它们还使两个同为协变或同为逆变的指标能够进行张量缩并。(preposterousuniverse.com)

度量唯一确定一个**列维–奇维塔联络**，它无挠且与度量相容，即 $\nabla g=0$ 。其系数为

\Gamma^k{}_{ij} =\frac12g^{k\ell} (\partial_i g_{j\ell}+\partial_j g_{i\ell}-\partial_\ell g_{ij}).

这一联络定义了协变导数。它的曲率由黎曼曲率张量描述，后者取决于度量、逆度量以及度量对坐标的一阶和二阶导数。(people.maths.ox.ac.uk)

采用仿射参数的测地线满足

\ddot x^k+\Gamma^k{}_{ij}\dot x^i\dot x^j=0.

黎曼测地线在足够短的线段上局部使长度最小，但不一定在全局上使长度最小。度量还确定了不变的体积密度

d\mu_g=\sqrt{|\det(g_{ij})|}\,|dx^1\cdots dx^n|,

其中行列式的因子抵消了坐标变换带来的变化。(people.maths.ox.ac.uk)

在广义相对论中的作用

广义相对论使用四维洛伦兹度量描述时空。采用 $(-+++)$ 符号约定时，平直时空的线元为

ds^2=-c^2dt^2+dx^2+dy^2+dz^2,

其中 $c$ 为光速。间隔平方为负、为正或为零，在局部分别对应类时、类空和零方向。沿类时世界线，固有时满足 $d\tau=\sqrt{-ds^2}/c$ 。(preposterousuniverse.com)

度量代表引力场，而不只是一个固定的背景。爱因斯坦场方程将由度量导出的曲率与物质和能量联系起来。自由下落的试验粒子沿类时测地线运动，而在几何光学近似下，光沿零测地线传播。(damtp.cam.ac.uk)