列维—奇维塔联络

列维—奇维塔联络是配备度量张量的光滑流形上唯一既与度量相容又无挠的仿射联络。它给出一个完全由度量确定的典范协变导数。其存在性与唯一性构成了黎曼几何基本定理；这一基本定理也适用于伪黎曼几何中具有不定号差的非退化度量。(damtp.cam.ac.uk)

定义与刻画条件

设 $M$ 是具有度量 $g$ 的光滑流形。联络为光滑向量场 $X,Y$ 指定一个向量场 $\nabla_XY$ ，可将其理解为 $Y$ 沿 $X$ 方向的导数。它是实双线性的，并且对任意光滑函数 $f$ 都满足

\nabla_{fX}Y=f\nabla_XY, \qquad \nabla_X(fY)=X(f)Y+f\nabla_XY.

列维—奇维塔联络由以下两个附加条件刻画。(wim.uni-mannheim.de)

度量相容性是指 $\nabla g=0$ ，等价地，

X\bigl(g(Y,Z)\bigr) =g(\nabla_XY,Z)+g(Y,\nabla_XZ).

挠率张量为零是指

T(X,Y)=\nabla_XY-\nabla_YX-[X,Y]=0,

其中 $[X,Y]$ 是向量场的李括号。这两个条件彼此不同：保持度量本身并不要求挠率为零。(wim.uni-mannheim.de)

将度量相容性与无挠条件结合起来，可得到科zul公式：

\begin{aligned} 2g(\nabla_XY,Z) ={}&Xg(Y,Z)+Yg(Z,X)-Zg(X,Y)\\ &-g(X,[Y,Z])+g(Y,[Z,X])+g(Z,[X,Y]). \end{aligned}

右端只涉及度量和向量场。由于 $g$ 非退化，右端对每个 $Z$ 的取值唯一确定了 $\nabla_XY$ 。反过来，这个公式定义了一个同时满足上述两个刻画条件的联络，从而证明了存在性与唯一性。(walpu.ski)

在局部坐标 $x^1,\ldots,x^n$ 下，记 $\partial_i=\partial/\partial x^i$ ，并写成

\nabla_{\partial_i}\partial_j =\Gamma^k{}_{ij}\partial_k.

这些系数是第二类克里斯托费尔符号：

\Gamma^k{}_{ij} =\frac12g^{k\ell} \left( \partial_i g_{j\ell} +\partial_j g_{i\ell} -\partial_\ell g_{ij} \right),

其中 $(g^{k\ell})$ 是 $(g_{k\ell})$ 的逆矩阵。重复指标按照爱因斯坦求和约定求和。对称性 $\Gamma^k{}_{ij}=\Gamma^k{}_{ji}$ 表达了坐标基下的无挠条件。(wim.uni-mannheim.de)

对于 $Y=Y^k\partial_k$ ，有

(\nabla_iY)^k =\partial_iY^k+\Gamma^k{}_{ij}Y^j.

虽然 $\nabla_XY$ 的定义是内蕴的，但克里斯托费尔符号本身并不按张量分量的规律变换；其坐标变换公式中包含一个涉及坐标变换二阶导数的附加项。(wim.uni-mannheim.de)

沿曲线 $\gamma$ 的向量场 $V$ 若满足

\nabla_{\dot\gamma}V=0,

就称为沿该曲线平行，即由平行移动得到。度量相容性保证，沿同一条曲线的任意两个平行向量场 $V,W$ ，其 $g(V,W)$ 保持不变。因此，在度量正定的情形下，平行移动保持长度和夹角。(damtp.cam.ac.uk)

以仿射参数表示的测地线，其切向量沿曲线自身作平行移动：

\nabla_{\dot\gamma}\dot\gamma=0.

在坐标下，这变为

\frac{d^2x^k}{dt^2} +\Gamma^k{}_{ij} \frac{dx^i}{dt}\frac{dx^j}{dt}=0.

在黎曼几何中，这也是能量泛函

E(\gamma)=\frac12\int g(\dot\gamma,\dot\gamma)\,dt

在具有标准度量的欧几里得空间上，该联络退化为通常的方向微分，其克里斯托费尔符号在笛卡尔坐标下为零。对于具有诱导欧几里得度量的子流形，其列维—奇维塔导数是环境空间中的导数在子流形切空间上的正交投影：

\nabla_XY=(D_XY)^\top.

因此，可以借助嵌入来计算内蕴联络，但其定义并不需要嵌入。(walpu.ski)

该联络的曲率由黎曼曲率张量描述。采用一种常见的符号约定，有

R(X,Y)Z =\nabla_X\nabla_YZ-\nabla_Y\nabla_XZ-\nabla_{[X,Y]}Z.

挠率为零并不意味着曲率为零：这两个张量衡量的是联络的不同性质。(walpu.ski)

在标准的广义相对论中，时空的洛伦兹度量确定了列维—奇维塔联络。由该联络的曲率可得到爱因斯坦场方程中出现的里奇张量和标量曲率。(damtp.cam.ac.uk)