爱因斯坦场方程是广义相对论中支配引力的方程。它们将时空的曲率与物质、辐射以及其他能量和动量源的分布联系起来。阿尔伯特·爱因斯坦于1915年11月25日提出了这些方程的最终形式。牛顿引力理论将引力视为在空间中起作用的力，而爱因斯坦场方程则使时空几何本身成为一个具有动力学性质的物理场。(einstein.caltech.edu)
数学形式
包含宇宙学常数的标准形式为
[ R_{\mu\nu}-\frac12 Rg_{\mu\nu}+\Lambda g_{\mu\nu} =\frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}. ]
其中，(g_{\mu\nu}) 是度量张量，用于确定时空间隔；(R_{\mu\nu}) 是里奇张量；(R=g^{\mu\nu}R_{\mu\nu}) 是标量曲率；(T_{\mu\nu}) 是能量动量张量。常数 (G) 和 (c) 分别是牛顿引力常数和光速。希腊字母指标遍历四个时空坐标。里奇曲率由黎曼曲率张量缩并得到。(damtp.cam.ac.uk)
组合量
[ G_{\mu\nu}=R_{\mu\nu}-\frac12 Rg_{\mu\nu} ]
称为爱因斯坦张量，因此场方程可简写为 (G_{\mu\nu}+\Lambda g_{\mu\nu}=(8\pi G/c^4)T_{\mu\nu})。虽然这看起来只是一个方程，但由于这些张量具有对称性，它实际上代表十个分量方程。这些方程构成一组关于度量的相互耦合、非线性、二阶偏微分方程。不同教科书对曲率采用的符号约定有所不同，因此必须结合相应定义来理解公式。(damtp.cam.ac.uk)
几何与物理源
度量描述一个具有洛伦兹几何的四维流形。它决定时钟读数、空间距离和光锥，从而确定哪些事件能够在因果上相互影响。其数学框架是微分几何，但度量并非仅仅是固定的背景：它的行为由场方程决定。(damtp.cam.ac.uk)
源张量包含能量密度、动量密度、能流、压强和应力。因此，引力源并不限于静质量：辐射和电磁场也有贡献。此外，源张量通常也依赖于度量，所以几何与物质必须联立求解，不能将它们视为完全独立的输入。(damtp.cam.ac.uk)
一旦度量已知，理想的自由落体试验粒子便沿测地线运动。这体现了决定几何的场方程与支配粒子在该几何中运动的方程之间的区别。试验粒子近似忽略粒子自身对引力场的影响。(ned.ipac.caltech.edu)
守恒与动力学结构
一个称为缩并比安基恒等式的几何恒等式给出
[ \nabla^\mu G_{\mu\nu}=0. ]
由于度量的协变导数为零，且 (\Lambda) 为常数，场方程要求
[ \nabla^\mu T_{\mu\nu}=0. ]
这表达了能量和动量的局域协变守恒。对于任意弯曲时空，它通常并不能给出唯一定义的总能量；全局守恒量需要额外的结构，例如适当的对称性或渐近条件。(damtp.cam.ac.uk)
十个分量方程受到这些恒等式和坐标自由度的约束。在将时空分解为空间和时间时，四个方程约束允许的初始数据，其余方程则在指定坐标条件后描述演化。因此，十个度量分量并不对应十个独立传播的物理量。(ned.ipac.caltech.edu)
作用量表述
这些方程也可以由爱因斯坦–希尔伯特作用量推导出来。在 (c=1) 的单位制中，其引力部分为
[ S_{\mathrm{grav}} =\frac{1}{16\pi G} \int d^4x,\sqrt{-g},(R-2\Lambda), ]
其中 (g=\det(g_{\mu\nu}))。加入物质作用量，并对总作用量关于逆度量作变分，在适当处理边界项后即可得到场方程。物质作用量的变分定义了能量动量张量。这种表述将引力与理论物理中广泛使用的变分方法联系起来。(damtp.cam.ac.uk)
牛顿极限与引力波
对于弱且近似静态的场以及缓慢运动的物质，在宇宙学效应可忽略时，这些方程恢复牛顿引力理论。度量的时间—时间分量体现牛顿引力势 (\Phi)，场方程则化为
[ \nabla^2\Phi=4\pi G\rho, ]
其中 (\rho) 是质量密度。通过与这一极限匹配，可以确定耦合系数 (8\pi G/c^4)。(ned.ipac.caltech.edu)
将度量写为 (g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}+h_{\mu\nu})，即在平直时空背景上加入一个小扰动，便可得到线性化方程。在适当的坐标条件下，其真空解包括以光速传播的引力波。线性化使近似叠加成为可能，而精确解通常不能直接相加，因为完整的方程是非线性的。(damtp.cam.ac.uk)
真空与重要解
当 (T_{\mu\nu}=0) 且 (\Lambda=0) 时，方程化为 (R_{\mu\nu}=0)。这并不要求整个黎曼张量为零：真空区域仍可具有产生潮汐效应的曲率，或承载引力辐射。平直的闵可夫斯基时空是真空解之一，但并非唯一的真空解。(damtp.cam.ac.uk)
史瓦西解描述球对称物体外部的真空区域，也描述不旋转的黑洞。克尔解描述旋转且不带电的黑洞。这些解的曲率说明，局部没有物质并不意味着没有引力。(damtp.cam.ac.uk)
在宇宙学中，施加大尺度均匀性和各向同性条件后，场方程便化为描述宇宙膨胀的弗里德曼方程。宇宙学常数可以保留在方程的几何一侧，也可以表示为源张量中的真空能贡献。当 (\Lambda\neq0) 时，真空满足的方程则为 (R_{\mu\nu}=\Lambda g_{\mu\nu})。(damtp.cam.ac.uk)