偏微分方程（PDE）是涉及多个自变量的未知函数及其偏导数的微分方程。常微分方程中的未知函数只依赖于一个自变量，而偏微分方程可以表达相对于位置、时间等多个坐标的变化。偏微分方程为热传导、波的传播、扩散和平衡现象提供数学描述；对偏微分方程的研究则关注解的存在性、唯一性及其性质。(web.stanford.edu)
形式与线性
一个 (m) 阶标量偏微分方程可以概括地写成
[ F(x,u,Du,D^2u,\ldots,D^mu)=0, ]
其中，(x=(x_1,\ldots,x_n))，(u=u(x))，(D^ku) 表示所有总阶数为 (k) 的导数。方程的阶数是其中出现的导数的最高阶数：(u_t+u_x=0) 是一阶方程，而 (u_t-u_{xx}=0) 是二阶方程。偏微分方程组则通过多个方程将若干未知函数联系起来。(web.stanford.edu)
如果未知函数及其导数在方程中以线性形式出现，且系数只依赖于自变量，这个偏微分方程就是线性的。若其源项为零，则称为齐次方程。齐次线性方程遵循叠加原理：解的线性组合仍然是解。非线性方程通常根据最高阶导数在方程中出现的方式，分为半线性、拟线性和完全非线性方程。半线性方程的最高阶项是线性的，其系数不依赖于未知函数；拟线性方程则允许这些系数依赖于未知函数及其低阶导数。(web.stanford.edu)
分类与典型方程
对于二元二阶线性方程，其主部具有如下形式：
[ A u_{xx}+2B u_{xy}+C u_{yy}. ]
在主部非零的点上，可根据 (B^2-AC) 的符号区分椭圆型、抛物型和双曲型方程。在更高维的情形中，分类涉及主部系数矩阵的特征值。同一个方程在不同区域中可能具有不同的类型。(web.stanford.edu)
椭圆型方程包括拉普拉斯方程：
[ \Delta u=0, \qquad \Delta u=\sum_{j=1}^{n}u_{x_jx_j}. ]
这里，(\Delta) 是拉普拉斯算子。拉普拉斯方程可以描述内部没有热源时的稳态温度分布等现象。与之对应的非齐次方程 (\Delta u=f) 称为泊松方程。(live.ocw.mit.edu)
抛物型方程的代表是热方程：
[ u_t=\kappa\Delta u,\qquad \kappa>0. ]
其中的未知函数可以表示温度，也可以表示发生扩散的物质的浓度。对于适当的初始数据，标准热方程会随着时间推移使其变得平滑，体现出细尺度变化逐渐衰减的特征。(live.ocw.mit.edu)
双曲型方程包括波动方程：
[ u_{tt}=c^2\Delta u, ]
其中，(c>0) 为传播速度。与扩散不同，这个方程描述以有限速度传播的扰动。这三种模型展示了各类方程的典型特征，但并未涵盖偏微分方程及其方程组的所有可能结构。(live.ocw.mit.edu)
初始数据与边界数据
仅有偏微分方程通常不足以确定唯一的解。初始条件规定起始时刻的状态；边值问题则规定空间区域边界上的行为。对于波动方程，通常需要同时给定初始位移和初始速度。对于热方程，需要给定初始温度分布；如果空间区域有边界，还需给定边界数据。(web.stanford.edu)
常见的边界条件包括规定 (u) 的值的狄利克雷条件，以及规定其外法向导数或相关通量的诺伊曼条件。混合边界条件可以对边界的不同部分施加不同要求。这些条件的具体含义取决于方程：例如，在热传导问题中，给定导数可以表示穿过边界的热流。(math.ucdavis.edu)
如果一个问题的解存在、唯一，并且在适当的函数空间中连续依赖于给定数据，就称这个问题是适定的。连续依赖意味着，数据发生足够小的变化时，解也只发生小的变化。这些性质属于由方程、区域和附加条件共同构成的完整问题，而不只是微分表达式本身的性质。(web.stanford.edu)
古典解与弱解
古典解具有逐点满足方程所需的导数。但解并不总能具有这样的光滑性，因此弱解十分重要。弱形式通过与测试函数配对的积分恒等式来表达方程，往往利用分部积分将未知函数上的导数转移到测试函数上。(math.ucdavis.edu)
索伯列夫空间根据函数的弱导数的可积性来组织函数，为存在性和唯一性结论提供了自然的框架。在泛函分析中，可以利用估计和紧性论证，在没有显式公式的情况下证明解的存在。正则性理论进一步研究弱解是否具有更高的可微性。答案取决于方程、系数、源项以及区域的边界。(math.ucdavis.edu)
解析方法与数值方法
分离变量法寻找由各个坐标的单变量函数相乘构成的解。对于适当的线性问题，可以用傅里叶级数组合由此得到的模态。傅里叶变换在无界区域上尤其有用：对热方程的空间变量进行变换，可以将其化为各频率分量所满足的常微分方程。(ocw.mit.edu)
数值方法用有限的近似问题代替连续问题。有限差分法在网格上近似导数；有限元法则使用有限维试探空间，通常建立在弱形式之上。这些方法将许多偏微分方程问题化为矩阵方程，从而把计算与线性代数联系起来。要保证这些方法的可靠性，必须分析近似误差、收敛性和数值稳定性，而不能将计算得到的数组当作精确解。(ocw.mit.edu)