麦克斯韦方程组由四个相互耦合的方程组成，描述电场和磁场、它们与电荷及电流的关系，以及它们随时间的演化。这组方程构成了经典电磁学的基础。它们与洛伦兹力定律共同描述电磁场如何作用于带电物质。方程组以詹姆斯·克拉克·麦克斯韦的名字命名，将电、磁和光学现象统一于同一套场论之中。(feynmanlectures.caltech.edu)
历史发展
麦克斯韦将已确立的实验定律与迈克尔·法拉第提出的场概念相结合，发展出自己的理论。他的关键贡献是引入位移电流项，将电流与磁场之间的关系推广到随时间变化的情形。他于1865年发表的论文《电磁场的动力学理论》将电磁传播与光联系起来。如今常见的四个矢量方程，是后来重新整理的表述形式，并非该论文原本采用的记号。(feynmanlectures.caltech.edu)
微分形式
在国际单位制（SI）中，微观形式的方程为
[ \nabla\cdot\mathbf E=\frac{\rho}{\varepsilon_0}, \qquad \nabla\cdot\mathbf B=0, ]
[ \nabla\times\mathbf E=-\frac{\partial\mathbf B}{\partial t}, \qquad \nabla\times\mathbf B =\mu_0\mathbf J+ \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial\mathbf E}{\partial t}. ]
其中，(\mathbf E) 和 (\mathbf B) 分别为电场和磁感应强度；(\rho) 和 (\mathbf J) 分别为总电荷密度和总电流密度。常数 (\varepsilon_0) 和 (\mu_0) 分别为真空介电常数和真空磁导率。这些方程是偏微分方程：其中的空间导数和时间导数规定了场与源之间的局部关系。(feynmanlectures.caltech.edu)
四个方程各自具有不同的物理意义：
- **高斯定律：**电荷决定电场的散度。在静电学中，孤立点电荷产生的电场与库仑定律一致。
- **磁场的高斯定律：**穿过任意闭合曲面的磁通量为零。标准形式的方程中不包含磁荷源。
- **法拉第电磁感应定律：**变化的磁场伴随着具有环流的电场。
- **安培–麦克斯韦定律：**电流和变化的电场共同贡献于磁场的旋度。(feynmanlectures.caltech.edu)
最后一个方程包含位移电流密度 (\varepsilon_0\partial\mathbf E/\partial t)。与传导电流不同，这一项不一定代表电荷穿过某一区域。在正在充电的电容器两极板之间，变化的电场提供了必要的贡献，使磁场环流不依赖于所选取的、以该闭合回路为边界的曲面。(feynmanlectures.caltech.edu)
积分形式
等价的表述采用曲面积分和曲线积分。对于以曲线 (C) 为边界的固定曲面 (S)，取相容的定向，有
[ \oiint_{\partial V}\mathbf E\cdot d\mathbf A =\frac{Q_V}{\varepsilon_0}, \qquad \oiint_{\partial V}\mathbf B\cdot d\mathbf A=0, ]
[ \oint_C\mathbf E\cdot d\boldsymbol\ell =-\frac{d}{dt}\int_S\mathbf B\cdot d\mathbf A, ]
[ \oint_C\mathbf B\cdot d\boldsymbol\ell =\mu_0 I_S+ \mu_0\varepsilon_0\frac{d}{dt} \int_S\mathbf E\cdot d\mathbf A. ]
其中，(Q_V) 是所包围的电荷，(I_S) 是穿过 (S) 的电流。这些表达式将通量、环流与所包围的源联系起来。在满足所需正则性条件的情况下，散度定理和斯托克斯定理将积分形式与微分形式联系起来。对于运动的闭合回路，还需要额外考虑其运动。(feynmanlectures.caltech.edu)
物质中的场
对于宏观材料，极化和磁化的影响被纳入辅助场 (\mathbf D) 和 (\mathbf H)：
[ \nabla\cdot\mathbf D=\rho_{\mathrm f}, \qquad \nabla\times\mathbf H =\mathbf J_{\mathrm f}+\frac{\partial\mathbf D}{\partial t}. ]
另外两个方程仍保持以 (\mathbf E) 和 (\mathbf B) 表示的原有形式。下标 (\mathrm f) 表示自由电荷或自由电流，以区别于与材料有关的束缚源。(live.ocw.mit.edu)
这些方程还需要描述材料响应的本构关系。简单的线性各向同性介质可能满足 (\mathbf D=\varepsilon\mathbf E)、(\mathbf B=\mu\mathbf H) 和 (\mathbf J=\sigma\mathbf E)。更一般的响应可能依赖于方向、频率或场强。初始条件和边界条件，加上源的具体分布以及材料的本构关系，共同确定一个具体的电磁问题。(live.ocw.mit.edu)
波与守恒定律
在无源真空中，由方程组可得
[ \nabla^2\mathbf E-\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2\mathbf E}{\partial t^2}=0, \qquad \nabla^2\mathbf B-\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2\mathbf B}{\partial t^2}=0, ]
其中，(c=1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}) 为光速。平面波解中的电场和磁场相互垂直，并且都垂直于传播方向，同时满足 (E=cB)。这表明光是一种电磁辐射，并将无线电波、可见光和X射线纳入同一物理框架。它们的波动性质构成了经典光学的基础，包括干涉和衍射现象。(feynmanlectures.caltech.edu)
对安培–麦克斯韦方程取散度，可得电荷的局部守恒关系：
[ \frac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla\cdot\mathbf J=0. ]
方程组还可导出坡印廷定理，它表达了电磁能量的守恒。在真空中，能量密度和能流密度分别为
[ u=\frac{\varepsilon_0E^2}{2}+\frac{B^2}{2\mu_0}, \qquad \mathbf S=\frac{\mathbf E\times\mathbf B}{\mu_0}, ]
并满足 (\partial u/\partial t+\nabla\cdot\mathbf S=-\mathbf J\cdot\mathbf E)。右端项表示场向带电物质传递的能量。(live.ocw.mit.edu)
相对论与适用范围
麦克斯韦方程组在洛伦兹变换下保持形式不变，不过，相对运动的观察者通常会将同一电磁场分解为不同的电场分量和磁场分量。这种相容性是相对论的核心内容之一。(feynmanlectures.caltech.edu)
这组方程属于经典理论：单凭它们无法描述单个光子的探测，也无法描述辐射与物质之间的量子化交换。量子电动力学提供了相应的量子理论框架，而其经典极限由麦克斯韦场方程描述。(preskill.caltech.edu)