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科学 / ginzburg-landau-theory

金兹堡–朗道理论

以空间变化的复序参量描述超导现象的唯象场论，也广泛用于研究相变与临界现象。

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金兹堡–朗道理论是维塔利·金兹堡和列夫·朗道于1950年提出的超导现象唯象理论。它通过复序参量以及包含序参量空间变化及其与磁场相互作用的自由能泛函来描述超导态。该理论在最初未指定微观配对机制的情况下，解释了磁屏蔽、超导界面以及Ⅰ型与Ⅱ型超导体之间的区别。在更广泛的意义上，这一名称也指用于研究相变的序参量理论框架。(nobelprize.org)

序参量与微观解释

超导序参量是一个复场，

ψ(r)=∣ψ(r)∣eiθ(r).\psi(\mathbf r)=|\psi(\mathbf r)|e^{i\theta(\mathbf r)}.

其模表征局域超导有序程度，而其相位则参与超导电流的描述。采用适当的归一化后，∣ψ∣2|\psi|^2 表示超导凝聚体的密度。它是一个集体场，而不是普通的单粒子波函数。(nobelprize.org)

该理论早于1957年提出的BCS理论。1959年，列夫·戈尔科夫在转变温度附近从BCS理论推导出了金兹堡–朗道方程，为其在常规超导体中的应用确立了微观基础。这一推导表明，电磁耦合中的电荷就是库珀对的电荷，其大小为 2e2e，其中 ee 为元电荷。(nobelprize.org)

自由能泛函

对于各向同性的单分量超导体，采用国际单位制时，一个标准表达式为

F[ψ,A]=Fn+∫d3r [α∣ψ∣2+β2∣ψ∣4+12m∗∣(−iℏ∇−qA)ψ∣2+∣B∣22μ0].F[\psi,\mathbf A]=F_n+\int d^3r\, \left[ \alpha|\psi|^2+\frac{\beta}{2}|\psi|^4 +\frac{1}{2m^*} \left|(-i\hbar\nabla-q\mathbf A)\psi\right|^2 +\frac{|\mathbf B|^2}{2\mu_0} \right].

这里，FnF_n 是正常态的参考自由能，A\mathbf A 是磁矢势，B=∇×A\mathbf B=\nabla\times\mathbf A，q=−2eq=-2e，m∗m^* 是一个唯象质量参数。ℏ\hbar 是约化普朗克常数，μ0\mu_0 是真空磁导率。当外加磁场给定时，应使用相应的吉布斯自由能。(pcteserver.mi.infn.it)

在连续相变附近，通常取

α(T)≃a(T−Tc),a>0,β>0.\alpha(T)\simeq a(T-T_c),\qquad a>0,\quad\beta>0.

在均匀的零磁场状态下，最小化自由能可得

∣ψ0∣2={0,T>Tc,−α/β,T<Tc.|\psi_0|^2= \begin{cases} 0,&T>T_c,\\[2mm] -\alpha/\beta,&T<T_c. \end{cases}

四次项保证自由能的稳定性，而梯度项使空间变化带来能量代价。梯度项的电磁耦合形式保持了局域规范不变性，从而将该理论与规范理论联系起来。(pcteserver.mi.infn.it)

金兹堡–朗道方程

对 ψ∗\psi^* 作变分可得

12m∗(−iℏ∇−qA)2ψ+αψ+β∣ψ∣2ψ=0.\frac{1}{2m^*}(-i\hbar\nabla-q\mathbf A)^2\psi +\alpha\psi+\beta|\psi|^2\psi=0.

对 A\mathbf A 作变分可得到超导电流及其与麦克斯韦方程组的耦合关系：

js=qm∗Re⁡[ψ∗(−iℏ∇−qA)ψ].\mathbf j_s= \frac{q}{m^*} \operatorname{Re} \left[\psi^*(-i\hbar\nabla-q\mathbf A)\psi\right].

这些相互耦合的非线性方程与边界条件一起，决定平衡态的序参量和磁场分布。它们能够描述假定凝聚体密度在空间上恒定的模型所无法涵盖的效应，包括表面附近和涡旋核心处超导性的减弱。(pcteserver.mi.infn.it)

特征长度与磁性分类

最简单的理论由两个特征长度支配：

  • 超导相干长度 ξ\xi 决定序参量发生变化的空间尺度。
  • 磁场穿透深度 λ\lambda 决定体相超导态中弱磁场的屏蔽尺度。

两者之比

κ=λξ,\kappa=\frac{\lambda}{\xi},

称为金兹堡–朗道参数。在各向同性的单分量理论中，κ<1/2\kappa<1/\sqrt2 对应Ⅰ型行为，而 κ>1/2\kappa>1/\sqrt2 对应Ⅱ型行为。两者的分界对应正常态与超导态之间界面能的符号变化。(nobelprize.org)

在低于热力学临界磁场时，Ⅰ型超导体通过迈斯纳效应将磁场排斥在体内之外。Ⅱ型超导体则在下临界磁场 Hc1H_{c1} 与上临界磁场 Hc2H_{c2} 之间允许磁通以涡旋形式进入。这种简单的 κ\kappa 分类适用于常规模型；更复杂的序参量可以产生其他磁性行为。(nobelprize.org)

涡旋与磁通量子化

阿布里科索夫涡旋具有一个超导有序受到抑制的核心。绕核心一周，相位变化为 2π2\pi 的整数倍，环流则维持着磁通。一个孤立的单量子涡旋携带一个磁通量子，

Φ0=h2e.\Phi_0=\frac{h}{2e}.

这将磁通量子化与配对凝聚体的电荷联系起来。(arxiv.org)

1957年，阿列克谢·阿布里科索夫利用该理论描述了Ⅱ型超导体的涡旋态。在理想的各向同性体相模型中，涡旋形成三角晶格。涡旋态的存在使超导有序与磁通能够在一定的磁场范围内共存。(nobelprize.org)

更广泛的框架与局限性

在超导现象之外，金兹堡–朗道模型将粗粒化自由能按序参量及其梯度展开。根据系统的对称性，场可以是实场、复场或多分量场。其应用包括铁磁性、超流性以及非平衡图样形成。含时推广用于描述弛豫过程或振幅的演化，但需要引入平衡态泛函之外的动力学假设。(arxiv.org)

常规超导理论的展开在 TcT_c 附近是可控的，此时序参量较小，且空间变化缓慢。仅对泛函进行最小化属于平均场近似，无法充分考虑临界点附近的热涨落。金兹堡判据用于估计这些涨落何时会使平均场预测失效。对场进行统计处理并运用重整化群，可将这一框架扩展到临界标度与普适类的研究。(pcteserver.mi.infn.it)

参考来源

  1. Advanced information on the Nobel Prize in Physics, 7 October 2003nobelprize.org
  2. Vitaly L. Ginzburg — Nobel Lecturenobelprize.org
  3. The Ginzburg-Landau theory of superconductivity (1950)pcteserver.mi.infn.it
  4. An introduction to the Ginzburg-Landau theory of phase transitions and nonequilibrium patternsarxiv.org
  5. The Ginzburg-Landau Theory of Type II superconductors in magnetic fieldarxiv.org