波函数是量子力学中纯态的一种数学表示，通常记作 (\psi) 或 (\Psi)。它为可能的构型或测量结果赋予取值为复数的概率幅。波函数的模平方决定测量概率，而其相位则影响干涉。对于位置表象中的单个无自旋粒子，(\psi(\mathbf r,t)) 依赖于位置和时间；对于多个粒子，波函数依赖于它们的整体构型，而不只是普通的三维空间。(feynmanlectures.caltech.edu)
数学表示
波函数并不等同于抽象的量子态，而是在某一特定表象下对该量子态的表达。在希尔伯特空间中，纯态由归一化的向量 (|\psi\rangle) 表示。其位置空间波函数为
[ \psi(\mathbf r)=\langle\mathbf r|\psi\rangle. ]
选择不同的基（线性代数），同一个态就会有不同的概率幅。例如，动量空间波函数描述的是各种可能的动量测量结果所对应的概率幅。对于测量结果离散的系统，则可以用一列复数系数来表示其状态。(ocw.mit.edu)
将整个归一化态乘以一个恒定的相位因子 (e^{i\theta})，不会改变其物理预言。不过，各分量之间的相对相位可能改变测量概率。一般的统计混合态无法用单个纯态波函数表示，而需要使用密度矩阵；密度矩阵也能描述纯态。(feynmanlectures.caltech.edu)
概率与归一化
玻恩规则将波函数与概率联系起来。对于三维空间中的无自旋粒子，
[ \rho(\mathbf r,t)=|\psi(\mathbf r,t)|^2 =\psi^*(\mathbf r,t)\psi(\mathbf r,t) ]
是位置的概率密度函数，其中星号表示复共轭。在区域 (R) 内找到粒子的概率由以下积分给出：
[ P(R,t)=\int_R|\psi(\mathbf r,t)|^2,d^3r. ]
因此，(|\psi|^2) 在某一点的值是概率密度，而不是粒子恰好位于该位置的概率。(ocw.mit.edu)
通常的归一化波函数满足
[ \int_{\mathbb R^3}|\psi(\mathbf r,t)|^2,d^3r=1. ]
对于三维位置空间中的波函数，归一化条件使 (\psi) 的量纲为长度的 (-3/2) 次方。遍布整个无限空间的理想平面波并非平方可积，因此需采用广义归一化来处理，或将其组合成可归一化的波包。在适当条件下，薛定谔演化保持波函数的归一化。(ocw.mit.edu)
时间演化与定态
在非相对论量子力学中，波函数的演化由薛定谔方程支配：
[ i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t} =\hat H\psi. ]
其中，(\hat H) 是哈密顿算符，表示系统的总能量；(\hbar=h/(2\pi)) 是约化普朗克常数。对于质量为 (m)、不与电磁矢势耦合的无自旋粒子，
[ \hat H=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+V(\mathbf r,t), ]
其中 (V) 为势能，(\nabla^2) 为拉普拉斯算符。初始条件、哈密顿算符和适当的边界条件共同决定波函数的演化。(ocw.mit.edu)
对于不随时间变化的哈密顿算符，能量本征函数满足
[ \hat H\phi_n=E_n\phi_n. ]
相应的含时解为 (\psi_n(\mathbf r,t)=\phi_n(\mathbf r)e^{-iE_nt/\hbar})。 虽然其相位随时间演化，但位置概率密度保持不变。这种解称为定态。这些能量是哈密顿算符的特征值；一般的量子态未必具有单一确定的能量。(feynmanlectures.caltech.edu)
叠加、干涉与动量
量子动力学的线性性质允许量子叠加。一个态可以表示为如下线性组合：
[ \psi=\sum_n c_n\phi_n. ]
在正交归一的测量基下，(|c_n|^2) 给出相应测量结果的概率。当不同可能过程保持相干且无法区分时，相加的是概率幅，而不是概率。因此，
[ |\psi_1+\psi_2|^2 =|\psi_1|^2+|\psi_2|^2 +2\operatorname{Re}(\psi_1^*\psi_2). ]
最后一项产生干涉，使相对相位对实验结果产生影响。这也使相干叠加区别于普通的统计混合。(feynmanlectures.caltech.edu)
位置波函数与动量波函数通过傅里叶变换相联系。局限在狭窄空间区域内的波包，通常需要很宽范围的动量分量。这一关系是位置—动量不确定性原理的基础。该原理通常写作 (\Delta x,\Delta p_x\geq\hbar/2)，其中每个不确定度都定义为标准差。它是对量子态本身的约束，而不仅仅是测量仪器的局限。(ocw.mit.edu)
多粒子态与内部自由度
一个 (N) 粒子系统的位置波函数具有如下形式：
[ \Psi(\mathbf r_1,\ldots,\mathbf r_N,t). ]
因此，它依赖于 (3N) 个空间坐标。额外的变量或分量用于描述自旋角动量等内部性质。例如，对于一个电子，完整的描述可能需要两个自旋分量，而不只是一个标量空间函数。(feynmanlectures.caltech.edu)
如果一个联合纯态的波函数无法分解为各子系统波函数的乘积，它就表示量子纠缠。此时必须从联合态出发获得预言；为每个子系统分别赋予独立的纯态波函数，通常不足以描述系统。(feynmanlectures.caltech.edu)
对于三维空间中的全同粒子，交换两个粒子的全套坐标，会使玻色子波函数保持不变，而使费米子波函数变号。费米子波函数的反对称性意味着泡利不相容原理成立：两个全同费米子不能占据同一个单粒子态。即使尚未求解具体的动力学问题，这些对称性要求也已对多粒子态施加了约束。(feynmanlectures.caltech.edu)
历史发展
埃尔温·薛定谔在物质具有波动性的思想基础上，于 1926 年发展了波动力学。他的方程将原子能级等问题转化为特征值问题。同年，马克斯·玻恩在散射问题中提出了波函数概率幅的统计解释，由此确立了复数概率幅与其模平方所给出的概率之间的区别。玻恩获得 1954 年诺贝尔物理学奖的部分奖项时，其统计解释被明确列为获奖贡献。(nobelprize.org)