自旋角动量是粒子和量子系统所具有的内禀角动量，与空间运动所产生的角动量不同。在量子力学中，自旋由量子数以及描述可测量分量的算符来表征。例如，电子的自旋量子数为 (s=\tfrac12)，与其轨道运动无关。虽然“自旋”一词让人联想到旋转，但它并不是一个微小刚体在实际转动；在经典力学中，没有与它完全对应的概念。(ocw.mit.edu)
量子数与测量
对于自旋量子数 (s) 确定的系统，自旋角动量的平方及其沿选定轴的分量满足
[ \hat S^2|s,m_s\rangle =\hbar^2s(s+1)|s,m_s\rangle, \qquad \hat S_z|s,m_s\rangle =\hbar m_s|s,m_s\rangle. ]
这里，(\hbar=h/(2\pi))，其中 (h) 为普朗克常数。投影量子数的取值为 (m_s=-s,-s+1,\ldots,s)。因此，自旋为 (s) 的系统沿某一轴有 (2s+1) 种可能的投影值。量子角动量的大小为 (\hbar\sqrt{s(s+1)})，而非简单的 (s\hbar)。对于自旋为二分之一的系统，角动量大小为 (\sqrt3,\hbar/2)，但测量某一分量时，只能得到 (+\hbar/2) 或 (-\hbar/2)。(ocw.mit.edu)
这两种结果通常称为“自旋向上”和“自旋向下”。它们是相对于测量轴定义的，并不对应空间中的绝对方向。沿某一轴具有确定自旋分量的态，可以是沿另一轴定义的两个态的量子叠加。因此，将系统制备为沿 (z) 轴自旋向上的态，并不意味着沿其他所有轴的测量结果也能确定预测。(ocw.mit.edu)
算符与旋转
自旋分量满足角动量对易关系，
[ [\hat S_x,\hat S_y]=i\hbar\hat S_z, ]
以及对下标作循环置换所得的相应关系。由于不同分量彼此不对易，它们通常不能同时具有确定值。不过，(\hat S^2) 与各个分量都对易，因此可以用总自旋及其一个投影来标记量子态。对于自旋二分之一的系统，
[ \hat S_i=\frac{\hbar}{2}\sigma_i, ]
其中，(\sigma_i) 是三个泡利矩阵，作用于二维希尔伯特空间。(ocw.mit.edu)
一般的归一化自旋二分之一态可以写成
[ |\psi\rangle=\alpha|\uparrow\rangle+\beta|\downarrow\rangle, \qquad |\alpha|^2+|\beta|^2=1. ]
根据玻恩规则，沿选定轴测量时，两种结果的概率分别为 (|\alpha|^2) 和 (|\beta|^2)。这种二态结构也为量子比特提供了一种自然的实现方式。(ocw.mit.edu)
自旋算符是这些内部量子态的旋转生成元。经过一次完整的 (2\pi) 旋转后，半整数自旋的态矢量会多出一个负号；经过 (4\pi) 旋转后，态矢量才恢复原状。单独一个整体负号不会改变测量概率，因此，这并不意味着一个孤立粒子转过一圈后会出现可见的变化。(ocw.mit.edu)
实验发展
1922 年的施特恩–盖拉赫实验让一束银原子通过非均匀磁场。原子束分裂为两束，而没有呈现出按经典理论中磁矩取向的连续分布所预期的连续展宽。最初，人们用旧有的原子模型解释这种分裂；如今则认为，它主要源于银原子中未配对电子的自旋磁矩。该实验早于电子自旋假说的明确提出。(arxiv.org)
乔治·乌伦贝克和塞缪尔·古德斯米特于 1925 年提出电子自旋。这一概念有助于解释原子光谱学中的一些现象，包括磁场中的谱线分裂。此后，自旋成为电子量子描述的一部分，而不再只是旋转电荷分布的力学模型。(doi.org)
磁相互作用与角动量耦合
电子自旋伴随有磁偶极矩，可近似表示为
[ \boldsymbol{\mu}_s=-g_e\frac{e}{2m_e}\mathbf S, ]
其中，(e) 是取正值的基本电荷，(g_e) 接近 2。负号表示电子的磁矩方向与其自旋方向相反。它在磁场中的相互作用能为 (-\boldsymbol{\mu}_s\cdot\mathbf B)，从而产生与自旋有关的能级分裂。精密测量揭示了超出最简单相对论理论预言的反常磁矩。(arxiv.org)
自旋按照量子角动量相加规则与轨道角动量合成。对于单个粒子，(\mathbf J=\mathbf L+\mathbf S)，允许的总角动量量子数为 (j=|l-s|,\ldots,l+s)。自旋–轨道耦合将这两种自由度联系起来，并对原子精细结构产生贡献。两个自旋二分之一的系统可以合成为自旋为零的单重态或自旋为一的三重态；因此，总角动量取决于合成后的量子态，而不是简单地将自旋大小的数值相加。(ocw.mit.edu)
粒子分类与应用
在通常的相对论性量子场论中，整数自旋粒子是玻色子，半整数自旋粒子则是费米子。这种自旋与统计之间的联系，是它们表现出不同多粒子行为的基础。全同费米子遵循泡利不相容原理。电子和夸克的自旋为二分之一，光子的自旋为一，希格斯玻色子的自旋为零。(atlas-public.web.cern.ch)
与自旋有关的能级使电子顺磁共振成为可能：振荡场驱动电子自旋态之间的跃迁。共振方法可用于研究材料性质和操控基于自旋的量子比特。核自旋同样是核磁共振和磁共振成像的基础。在自旋电子学中，电子器件不仅利用电荷，也利用自旋和磁化，包括用自旋转矩切换磁存储单元的状态。(nist.gov)