角动量

角动量是描述物体相对于选定点或轴的运动的物理量。在经典力学中，粒子的角动量是其相对于该点的位置矢量与其线动量的叉积。具有空间尺度的物体，其整体运动和自身转动都可产生角动量。在量子力学中，角动量还包括内禀自旋。角动量守恒将转动动力学与物理定律在旋转变换下的对称性联系起来。(openstax.org)

经典定义

对于位置矢量为 $\mathbf r$、动量为 $\mathbf p$ 的粒子，其中位置矢量从指定原点起算，角动量定义为

叉积使 $\mathbf L$ 垂直于 $\mathbf r$ 和 $\mathbf p$ 所在的平面，其方向由右手定则确定。角动量的大小为 $L=rp\sin\theta$，其中 $\theta$ 是这两个矢量之间的夹角。因此，沿直线运动的粒子，相对于不在该直线上的点也可以具有非零角动量；具有角动量并不要求粒子做圆周运动。(openstax.org)

对于质量为 $m$ 的非相对论粒子，有 $\mathbf p=m\mathbf v$。在国际单位制中，角动量的单位为 $\mathrm{kg\,m^2\,s^{-1}}$。角动量的值通常取决于所选的原点：若原点平移 $\mathbf a$，则有 $\mathbf L'=\mathbf L-\mathbf a\times\mathbf p$。对于粒子系统，相应的变化取决于系统的总动量。(openstax.org)

角动量是轴矢量，而不是普通的极矢量。在空间反演下，位置和动量的方向都反转，但两者的叉积保持不变。在描述镜像反射对称性和宇称时，这一区别十分重要。(ocw.mit.edu)

粒子系统与刚体

粒子系统的总角动量为

它可以分解为质心运动产生的轨道角动量，以及相对于质心计算的内部角动量：

其中，$\mathbf P$ 是总线动量。例如，这种分解可以区分物体绕外部某点的运动与绕自身质心的转动。(mitp-content-server.mit.edu)

对于刚体，其绕质心转动的角动量满足

其中，$\boldsymbol\omega$ 是角速度，$\mathbf I$ 是惯性张量。角动量与角速度不一定平行。绕惯性主轴转动时，这一关系简化为 $L=I\omega$，其中 $I$ 是绕该轴的转动惯量。因此，对于给定的转动，角动量不仅取决于总质量，还取决于质量的分布。(mitp-content-server.mit.edu)

转矩与守恒

在惯性参考系中，相对于固定原点的角动量变化率等于合外转矩：

对于粒子，转矩为 $\mathbf r\times\mathbf F$，其中 $\mathbf F$ 是施加的力。对于内转矩相互抵消的普通力学系统，只有外转矩能够改变其总角动量。如果合外转矩为零，总角动量矢量就保持不变，尽管系统各部分之间仍可交换角动量。(openstax.org)

旋转中的滑冰运动员近似地展示了这一原理。将双臂向内收拢会减小转动惯量并增大角速度，使 $I\omega$ 几乎保持不变。角动量守恒并不意味着转动动能守恒：运动员的肌肉做功（物理学），使能量发生变化，而外转矩仍然很小。(openstax.org)

转矩也可以改变角动量的方向。在高速自转的陀螺仪中，重力转矩会引起进动，即自转轴绕另一条轴转动。常见的慢进动公式假定角动量主要来自高速自转；它并非适用于所有旋转陀螺的无条件描述。(openstax.org)

旋转对称性

诺特定理为角动量守恒提供了更深层次的解释。如果系统的作用量在连续的空间旋转下保持不变，那么相应的角动量就守恒。旋转不变性意味着系统的动力学不依赖于空间中的绝对取向；它并不要求运动物体本身具有球形外形。仅绕某一条轴具有旋转对称性，就能保证角动量在该轴方向上的分量守恒。(mitp-content-server.mit.edu)

对于受中心力作用的粒子，力沿着从力心出发的径向，因此该力相对于力心的转矩为零。守恒的角动量使非径向运动的轨迹局限在一个平面内，并意味着粒子与力心连线扫过面积的速率恒定，从而将角动量守恒与轨道力学联系起来。(ocw.mit.edu)

量子角动量

在量子理论中，轨道角动量由算符 $\hat{\mathbf L}=\hat{\mathbf r}\times\hat{\mathbf p}$ 表示。自旋角动量是一种内禀属性，不能将其理解为经典粒子实际发生的自转。两者都遵循相同的角动量代数。对于一般的角动量 $\hat{\mathbf J}$，有

以及通过循环置换得到的相应关系。这里，$\hbar=h/(2\pi)$，其中 $h$ 是普朗克常数。不对易的分量通常不能同时具有确定值，而 $\hat J^2$ 与其中一个分量可以同时具有确定值。(ocw.mit.edu)

它们的共同本征态满足

量子数 $j$ 是非负整数或半整数，且 $m=-j,-j+1,\ldots,j$。轨道角动量的 $j$ 为整数，通常记为 $\ell$；内禀自旋的量子数则可以是半整数。因此，确定的 $j$ 所对应的角动量大小为 $\hbar\sqrt{j(j+1)}$，而不只是 $j\hbar$。(ocw.mit.edu)

角动量通过算符相加进行合成。对于量子数分别为 $j_1$ 和 $j_2$ 的两部分角动量，总角动量量子数的允许值从 $|j_1-j_2|$ 到 $j_1+j_2$，相邻取值相差 1。这一框架用于描述原子态中轨道运动与自旋的耦合。(ocw.mit.edu)