转动惯量 · aiwiki.page

转动惯量是衡量质量相对于指定轴的分布的物理量。在经典力学中，它在转动运动中的作用类似于质量在平动中的作用：对于绕固定轴施加的给定转矩，物体的转动惯量越大，产生的角加速度就越小。与质量不同，转动惯量不仅取决于物体的质量分布，还取决于所选轴的位置和方向。转动惯量通常用 $I$ 表示。(openstax.org)

定义与物理意义

对于一组质点，其绕某一轴的转动惯量为

I=\sum_i m_i r_{\perp i}^{\,2},

其中， $m_i$ 是第 $i$ 个质点的质量， $r_{\perp i}$ 是该质点到轴的垂直距离，不一定是它到某个特定点的距离。对于连续的质量分布，求和转化为积分：

I=\int r_\perp^2\,dm.

若体积密度为 $\rho(\mathbf r)$ ，则 $dm=\rho(\mathbf r)\,dV$ ，因此

I=\int_V \rho(\mathbf r)r_\perp^2\,dV.

无论物体是否实际处于转动状态，这一定义都适用。(openstax.org)

由于距离以平方形式出现，离轴较远的质量对转动惯量的贡献会显著增大。将一个质点移到距轴为原来两倍的位置，它对转动惯量的贡献就会变为原来的四倍。因此，质量相等、外半径相同的物体也可能具有不同的转动惯量：薄圆环绕其中心轴的转动惯量大于均匀实心圆盘绕其中心轴的转动惯量。(openstax.org)

在国际单位制中，转动惯量的单位为 $\mathrm{kg\,m^2}$ ，其量纲为质量乘以长度的平方。只要各部分的转动惯量均相对于同一轴计算，就可以将它们相加，得到整体的转动惯量。(openstax.org)

在转动动力学中的作用

对于绕固定轴转动且转动惯量保持不变的刚体，

\tau_{\mathrm{ext},\parallel}=I\alpha,

其中， $\tau_{\mathrm{ext},\parallel}$ 是合外转矩沿该轴的分量， $\alpha$ 是角加速度。这是牛顿第二运动定律 $F=ma$ 在转动运动中的对应形式。这个标量方程描述的是转矩沿转轴的分量，并不是适用于任意三维运动的一般矢量方程。(openstax.org)

绕该轴转动时，转动动能为

K_{\mathrm{rot}}=\frac12 I\omega^2,

其中， $\omega$ 是角速度。这一结果可以通过将物体各质点的动能相加得到，各质点的切向速率为 $v_i=\omega r_{\perp i}$ 。(openstax.org)

角动量沿该轴的分量为

L_\parallel=I\omega.

如果绕该轴的外转矩为零，这一分量便保持守恒。花样滑冰运动员将双臂向内收拢时，转动惯量减小，转动的角速率增大，近似满足

I_{\mathrm{initial}}\omega_{\mathrm{initial}} = I_{\mathrm{final}}\omega_{\mathrm{final}}.

这一例子涉及物体构型的变化，而不是一个 $I$ 恒定的刚体。(ocw.mit.edu)

对于一般的刚体运动，动能可以分为质心的平动动能和绕质心的转动动能：

K=\frac12 Mv_{\mathrm{CM}}^2 +\frac12\boldsymbol{\omega}^{T} \mathbf I_{\mathrm{CM}}\boldsymbol{\omega}.

这里， $\mathbf I_{\mathrm{CM}}$ 是以质心为原点计算的惯性张量。(mitp-content-server.mit.edu)

计算与典型例子

计算时，首先要指定转轴，并写出各质量元到该轴的垂直距离。对称性可以简化积分，但针对某一轴推导出的公式不能直接套用于另一轴。(openstax.org)

下表列出了一些常见结果。具有空间尺度的物体均假定密度均匀；杆和壳均作薄体理想化处理。(openstax.org)

物体	转轴	转动惯量
质量为 $M$ 的质点	与质点的垂直距离为 $R$ 的轴	$MR^2$
半径为 $R$ 的薄圆环	通过圆心且垂直于圆环平面的轴	$MR^2$
半径为 $R$ 的实心圆盘或圆柱	中心对称轴	$\tfrac12 MR^2$
半径为 $R$ 的实心球	任一直径所在的轴	$\tfrac25 MR^2$
半径为 $R$ 的薄球壳	任一直径所在的轴	$\tfrac23 MR^2$
长度为 $\ell$ 的细杆	通过中点且垂直于杆的轴	$\tfrac1{12}M\ell^2$
长度为 $\ell$ 的细杆	通过一端且垂直于杆的轴	$\tfrac13 M\ell^2$

例如，均匀细杆的线密度为 $M/\ell$ 。取杆的中点为原点，可得

I=\frac{M}{\ell} \int_{-\ell/2}^{\ell/2}x^2\,dx =\frac1{12}M\ell^2.

当转轴通过杆的一端时，积分限随之改变，从而得到表中所示的另一个结果。(openstax.org)

转轴定理

平行轴定理给出了绕通过质心的轴的转动惯量与绕另一条平行轴的转动惯量之间的关系：

I=I_{\mathrm{CM}}+Md^2,

其中， $d$ 是两轴之间的垂直距离。两条轴中必须有一条通过质心；该公式不能直接用于在任意两条平行轴之间换算转动惯量。它还表明，在方向相同的所有平行轴中，通过质心的轴所对应的转动惯量最小。(openstax.org)

对于位于 $xy$ 平面内的薄平面质量分布，交于同一点且两两垂直的三条轴满足垂直轴定理：

I_z=I_x+I_y.

这是因为 $I_z=\int(x^2+y^2)\,dm$ ，而 $I_x=\int y^2\,dm$ ， $I_y=\int x^2\,dm$ 。质量分布必须限于一个平面内；这一条件不可缺少，该等式不适用于一般的三维物体。(ocw.mit.edu)

惯性张量与主轴

单个标量可以描述物体绕某一轴的转动惯量。一般的三维转动则需要用惯性张量描述，它是一个二阶张量，可表示为对称的 $3\times3$ 矩阵：

I_{ij} =\int\left(r^2\delta_{ij}-x_i x_j\right)\,dm,

其中，各坐标均相对于指定原点测量。例如，

I_{xx}=\int(y^2+z^2)\,dm, \qquad I_{xy}=-\int xy\,dm.

对于通过该原点、单位方向矢量为 $\mathbf n$ 的轴，其标量转动惯量为

I_{\mathbf n}=\mathbf n^T\mathbf I\mathbf n.

(ocw.mit.edu)

相对于质心，角动量和转动动能满足

\mathbf L=\mathbf I\boldsymbol{\omega}, \qquad K_{\mathrm{rot}} =\frac12\boldsymbol{\omega}^{T}\mathbf I\boldsymbol{\omega}.

因此，角动量不一定与角速度平行。(mitp-content-server.mit.edu)

选取相互垂直的惯性主轴，可以将惯性张量对角化。它的特征值就是主转动惯量 $I_1,I_2,I_3$ ，特征向量则给出主轴方向。在这一坐标系中，

K_{\mathrm{rot}} =\frac12\left(I_1\omega_1^2+ I_2\omega_2^2+I_3\omega_3^2\right).

通常可以根据对称性直接确定这些轴。若存在相等的主转动惯量，主轴方向就不止一种选择；对于均匀球体，通过球心的任意一组正交轴都是惯性主轴。(mitp-content-server.mit.edu)

应用与概念辨析

转动机械、车轮和飞轮的相关计算都涉及转动惯量。在角速率一定时，增大 $I$ 会增加飞轮储存的转动动能；在施加的轴向转矩一定时，增大 $I$ 则会减小角加速度。这是同一质量分布属性带来的两种不同结果。(openstax.org)

在工程领域，必须区分质量惯性矩与截面二次矩，后者也常称为“面积惯性矩”。截面二次矩是一个几何量，例如

I_{A,x}=\int_A y^2\,dA,

其单位为 $\mathrm{m^4}$ ，而不是 $\mathrm{kg\,m^2}$ 。它描述的是截面面积的分布，并不是物体的转动惯量。(engineeringstatics.org)

最后，转动惯量并不是衡量摩擦的量，也不是阻碍转动的力，而是质量分布的一种属性。当物体的构型发生变化时，转动惯量的定义仍然适用；但要在刚体运动方程中将其视为常量，就必须保证相对于相关转轴的质量分布保持不变。(openstax.org)

参考来源

4 Moment of Inertia and Rotational Kinetic Energy — University Physics Volume 1openstax.org
5 Calculating Moments of Inertia — University Physics Volume 1openstax.org
3 Dynamics of Rotational Motion: Rotational Inertia — College Physics 2eopenstax.org
Ch. 10 Summary — University Physics Volume 1openstax.org
2 Conservation of Momentum — Physicsopenstax.org
09(F14) Chapter 2: Rigid Body Dynamicsocw.mit.edu
Structure and Interpretation of Classical Mechanics: Chapter 2mitp-content-server.mit.edu
Statics: Mass Moment of Inertiaengineeringstatics.org
Statics: Integral Properties of Shapesengineeringstatics.org