积分是一种将局部贡献汇集为累积量的数学构造。在微积分中，定积分为函数在某个区间上确定一个数值，通常可解释为有符号面积或总变化量。不定积分则表示一族函数，这些函数的导数都等于某个给定函数。微积分基本定理将这两种含义联系起来，但积分也可以独立于求原函数来定义。(openstax.org)
定积分与累积
对于定义在 ([a,b]) 上的有界实值函数 (f)，将该区间划分为若干子区间，其端点为 [ a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b. ] 在每个子区间内选取一个取样点 (\xi_i)，并构造和式 [ \sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)(x_i-x_{i-1}). ] 这个黎曼和通过将各个矩形的贡献相加来近似累积量。如果当最大子区间宽度趋于零时，无论如何划分区间和选取取样点，这些和式都趋于同一个有限的极限，则黎曼积分 [ \int_a^b f(x),dx ] 存在。其中，(f) 是被积函数，(a,b) 是积分下限和上限，(x) 是积分变量。(openstax.org)
当 (f\geq0) 时，积分表示函数图像下方的面积。负的函数值产生负的贡献，因此积分通常度量的是有符号面积，而不是几何面积的总和。闭有界区间上的每个连续函数都黎曼可积；连续性是充分条件，但不是必要条件。(openstax.org)
积分具有线性： [ \int_a^b(\alpha f+\beta g),dx =\alpha\int_a^b f,dx+\beta\int_a^b g,dx. ] 积分还具有相邻区间上的可加性，而交换积分上下限会使积分变号： [ \int_a^b f,dx=\int_a^c f,dx+\int_c^b f,dx, \qquad \int_b^a f,dx=-\int_a^b f,dx. ] 只要相关积分存在，这些性质就成立。(openstax.org)
原函数与微积分基本定理
函数 (f) 在某个区间上的一个原函数，是满足 (F'=f) 的函数 (F)。在该区间上，任意两个原函数之间只相差一个常数，因此记作 [ \int f(x),dx=F(x)+C. ] 与上下限固定的定积分不同，这个表达式表示一族函数，而不是一个数。(openstax.org)
微积分基本定理确立了二者之间的联系。如果 (f) 在 ([a,b]) 上连续，则累积函数 [ A(x)=\int_a^x f(t),dt ] 在区间内部各点满足 (A'(x)=f(x))。此外，对于任意原函数 (F)，都有 [ \int_a^b f(x),dx=F(b)-F(a). ] 因此，通过和式的极限定义的量，可以利用求导的逆过程来计算。例如， [ \int_0^1 x^2,dx =\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1 =\frac13. ] (openstax.org)
计算与近似
符号积分利用由求导法则推导出的恒等式。换元积分法是链式法则的逆向应用，而分部积分法则通过变形乘积求导法则得到： [ \int_a^b u(x)v'(x),dx =[u(x)v(x)]_a^b-\int_a^b u'(x)v(x),dx. ] 适当地选择两个因子，可以将一个难以计算的积分转化为较简单的积分。(openstax.org)
许多积分难以通过初等原函数方便地求得。数值积分也称数值求积，根据取样值估算定积分。中点法和梯形法分别在各子区间上采用常数近似和线性近似；辛普森法则采用二次近似。在适当的光滑性假设下，误差界将精度与子区间宽度及导数的界联系起来。求数值近似与判断积分是否存在，是两个不同的问题。(openstax.org)
反常积分与勒贝格积分
反常积分通过极限将积分推广到无界区间或无界被积函数。例如， [ \int_1^\infty f(x),dx =\lim_{R\to\infty}\int_1^R f(x),dx, ] 前提是这个极限为有限值。函数 (x^{-2}) 在该区间上的积分收敛于 (1)，而 (x^{-1}) 的积分则发散。对于区间内部的奇点，必须分别考察两侧的单侧极限；奇点两侧的贡献相互抵消，并不能说明通常意义下的反常积分收敛。(openstax.org)
勒贝格积分在测度论的框架内发展而来，利用集合的测度来定义累积量。它将积分推广到通常的黎曼框架之外的函数和空间。在有界区间上，每个黎曼可积函数都勒贝格可积，而且两种积分的值相同。在 ([0,1]) 上，取值在有理数处为 (1)、在其他点为 (0) 的函数并不黎曼可积，但其勒贝格积分为 (0)，因为有理数集的测度为零。(math.mit.edu)
高维积分与应用
多重积分在二维或更高维区域上累积各部分的贡献，可用于计算面积、体积，以及根据密度计算质量。曲线积分沿曲线累积各部分的贡献；将力场沿路径积分，就得到运动过程中力所做的功。(openstax.org)
在概率中，概率密度函数 (p) 通过下式确定取值落在某个区间内的概率： [ P(a\leq X\leq b)=\int_a^b p(x),dx. ] 对于具有概率密度且绝对值的期望有限的随机变量，其期望值为 [ E[X]=\int_{-\infty}^{\infty}x,p(x),dx. ] 因此，积分既可用于求概率总量，也可用于求加权平均值。(live.ocw.mit.edu)
历史发展
积分思想的早期雏形出现在古希腊。当时，阿基米德运用穷竭法，通过几何近似确定面积和体积。17世纪，艾萨克·牛顿和戈特弗里德·威廉·莱布尼茨各自独立发展了微积分，将累积量与变化率联系起来。二人的方法有所不同，但都把积分与微分之间的互逆关系置于核心地位。(mathshistory.st-andrews.ac.uk)
莱布尼茨在一份日期为1675年10月29日的手稿中引入了符号 (\int)。这个拉长的字母 S 代表拉丁语中意为“和”的 summa。随后，他将其与微分记号结合，形成了如今熟悉的形式 (\int f(x),dx)。(mathshistory.st-andrews.ac.uk)