微分方程是包含未知函数及其一个或多个导数的方程。代数方程的未知量是数，而微分方程通常要求找出一个函数，使其在整个区间或区域内满足某种关系。微分方程将局部变化率与整体行为联系起来，是微积分和应用数学的核心研究内容。它们可以描述增长、振荡、扩散和波的传播等过程。(ocw.mit.edu)
分类与记号
常微分方程（ODE）包含对单个自变量的导数。对于未知函数 (y(t))，一般的 (n) 阶方程可写为 [ F(t,y,y',\ldots,y^{(n)})=0. ] 方程的阶数是其中出现的导数的最高阶数：(y'=ky) 是一阶方程，而 (y''+\omega^2y=0) 是二阶方程。自变量不一定代表时间。(ocw.mit.edu)
偏微分方程（PDE）的未知函数具有多个自变量，方程中包含偏导数。例如，一维热方程 [ \frac{\partial u}{\partial t} =\alpha\frac{\partial^2u}{\partial x^2}, \qquad \alpha>0, ] 将随时间的变化率与空间分布的曲率联系起来。它是二阶方程，因为其中最高阶的导数是对空间变量的二阶导数。(ocw.mit.edu)
如果未知函数及其导数均以线性形式出现，且系数只依赖于自变量，方程就是线性的。线性常微分方程具有如下形式： [ a_n(t)y^{(n)}+\cdots+a_1(t)y'+a_0(t)y=g(t). ] 当 (g=0) 时，方程是齐次的；否则是非齐次的。(y^2)、(yy') 或 (\sin y) 等项会使方程成为非线性方程。对于齐次线性方程，解的任意线性组合仍然是解，这就是叠加原理。(ocw.mit.edu)
解与附加条件
经典解具有方程所要求的各阶导数，并在指定的定义域内逐点满足方程。因此，如果没有说明公式在哪个区间或区域内有效，对解的表述就是不完整的。解不一定能用初等函数表示：即使不存在初等原函数，定积分仍可定义一个精确解。(ocw.mit.edu)
微分方程通常具有一族解。对于 [ y'=ky, ] 通解为 (y(t)=Ce^{kt})，其中 (C) 是任意常数。初值问题在某一点给定数据，例如 (y(t_0)=y_0)，从而选定解 [ y(t)=y_0e^{k(t-t_0)}. ] 边值问题则在不同的点或沿某个区域的边界规定条件。对于偏微分方程，初始数据可能给定的是整个空间分布，而不是单个数值。(ocw.mit.edu)
微分方程组描述多个相互作用的未知函数。一阶线性方程组可表示为 [ \mathbf{x}'=A(t)\mathbf{x}+\mathbf{b}(t), ] 其中 (A(t)) 是一个矩阵。对于已解出最高阶导数的高阶常微分方程，可以将各阶导数依次视为新的未知函数，从而将其转化为一阶方程组。这将微分方程与线性代数联系起来，并为解析方法和数值方法提供了统一的框架。(ocw.mit.edu)
存在性、唯一性与定性行为
求出解的公式，与证明解是否存在或是否唯一，是不同的问题。对于 (y'=f(t,y))，当 (f) 连续，且关于 (y) 满足适当的局部利普希茨连续性条件时，皮卡–林德勒夫定理保证解的局部存在性和唯一性。仅有连续性通常不足以保证唯一性。(ocw.mit.edu)
局部存在也不意味着解对所有时间都存在。初值问题 [ y'=y^2,\qquad y(0)=1 ] 在包含零点的最大存在区间 ((-\infty,1)) 上有解 (y(t)=1/(1-t))；当 (t) 趋近于 (1) 时，解趋于无穷大。(ocw.mit.edu)
定性分析研究平衡状态、稳定性、振荡和长期行为，而不一定需要求出显式解。方向场可以直观展示一阶常微分方程所规定的斜率。对于偏微分方程，适定性要求解存在、唯一，并且连续依赖于给定的数据。这些性质取决于所涉及的方程、定义域、条件和函数空间。(ocw.mit.edu)
解析方法与数值方法
解析方法利用方程的特定结构。变量分离法可求解某些一阶方程；积分因子法可处理一阶线性方程。常系数线性方程的求解可归结为求解特征方程。其他方法包括幂级数法、常数变易法，以及傅里叶变换等积分变换。没有一种方法能够为所有微分方程给出初等函数形式的解。(ocw.mit.edu)
数值方法在离散点上计算解的近似值。对于 (y'=f(t,y))，欧拉法采用 [ y_{n+1}=y_n+h f(t_n,y_n), \qquad t_{n+1}=t_n+h. ] 龙格–库塔法在每一步中综合多次斜率计算的结果，以获得更高阶的近似。精度取决于所用方法、步长和解的行为；数值稳定性则决定误差是受到控制还是被放大。(ocw.mit.edu)
偏微分方程理论还采用弱解：弱解满足积分形式的方程，而不要求每个导数都在经典意义下存在。这使得正则性较低的函数也能得到处理，在存在性理论和变分表述中具有重要意义。(math.ucdavis.edu)
建模应用
在经典力学中，微分方程用于描述运动和振荡系统，包括受迫振动和阻尼振动。热方程用于模拟热传导和扩散，而波动方程用于描述扰动的传播。在量子力学中，薛定谔方程支配波函数的演化。模型的解不仅取决于微分方程本身，还取决于其参数、定义域、初始或边界数据，以及对物理系统所作的假设。(ocw.mit.edu)