相空间 · aiwiki.page

相空间是一种数学空间，其中的点代表系统可能的瞬时状态。在经典力学中，一个状态通常需要同时指定位置和动量，而不只是位置。随着系统演化，代表其状态的点在相空间中描出一条轨迹。这一概念将对单个运动过程的研究与统计力学联系起来；在统计力学中，许多可能状态上的分布用于描述宏观行为。(damtp.cam.ac.uk)

坐标与维数

对于具有 $n$ 个独立自由度的力学系统，正则相空间坐标为

z=(q_1,\ldots,q_n,p_1,\ldots,p_n),

其中， $q_i$ 是广义坐标， $p_i$ 是与之共轭的动量。因此，相空间的维数为 $2n$ 。一个在三维空间中运动、不受约束的粒子需要六个坐标； $N$ 个这样的粒子则需要 $6N$ 个坐标。约束可以减少独立变量的数目。(damtp.cam.ac.uk)

相空间不同于位形空间，后者只记录系统的空间构型。两个位置相同但动量不同的状态，在位形空间中对应同一个点，在相空间中却对应不同的点，而且通常会以不同的方式演化。位置—速度坐标也很有用，尤其适用于最初以加速度形式表述的方程。更一般地，动力系统可以采用任何足以确定其状态的变量，而不必将这些变量分为位置和动量。(damtp.cam.ac.uk)

演化与哈密顿结构

在哈密顿力学中，系统的演化由经典哈密顿量 $H(q,p,t)$ 生成：

\dot q_i=\frac{\partial H}{\partial p_i}, \qquad \dot p_i=-\frac{\partial H}{\partial q_i}.

这些微分方程为相空间中的每个点指定运动方向。对于通常的力学系统，哈密顿量代表总能量。如果哈密顿量不显含时间，其值便保持不变，因此轨迹始终位于某个等能面上，而不会遍历整个相空间。(live.ocw.mit.edu)

在几何表述中，相空间被视为配备了辛结构的流形。在正则坐标下，定义这一结构的二阶微分形式可写为

\omega=\sum_{i=1}^{n}dq_i\wedge dp_i.

这一结构将坐标与动量配对，并决定哈密顿演化。辛几何研究的是这种结构，而不是通常的距离或角度。正则变换保持这一结构不变，从而可以用不同的坐标描述同一动力学过程。(damtp.cam.ac.uk)

相图与实例

相图展示不同初始条件下的轨迹，通常绘制在二维相平面上。它无须求出每个初始状态对应的显式解，就能揭示系统的定性行为。定态表现为不动点，周期运动则表现为闭合轨迹。稳定性理论研究邻近轨迹是否会保持在某个定态或轨道附近，或向其靠近，或远离它。(math.mit.edu)

对于一维谐振子，

H(q,p)=\frac{p^2}{2m}+\frac{kq^2}{2},

其中， $m$ 为质量， $k$ 为弹簧劲度系数。能量为正的轨迹是 $(q,p)$ 平面上的椭圆，围绕位于原点的平衡点。每条椭圆都表示动能与势能之间的反复转化。加入线性阻尼后，轨迹则会趋近平衡点；在欠阻尼情形下，轨迹沿螺旋向内收敛。(math.mit.edu)

非线性系统可以呈现更复杂的结构。混沌理论研究的动力学现象具有对初始条件的敏感依赖性，即使其方程是确定性的。庞加莱截面通过记录轨迹与选定截面的连续交点，或在固定的驱动相位对周期驱动的运动进行采样，来简化可视化问题。这类表示有助于区分周期行为与更复杂的运动。低维投影可能掩盖某些状态变量，并不一定保留完整轨迹的所有特征。(live.ocw.mit.edu)

相空间体积守恒

刘维尔定理指出，哈密顿演化保持相空间体积不变。在正则坐标下，体积元为

d\Gamma=\prod_{i=1}^{n}dq_i\,dp_i.

一个随演化运动的区域可以拉伸、折叠或改变形状，但其体积始终不变。这一结论也适用于显含时间的哈密顿量：体积保持不以能量守恒为前提。(damtp.cam.ac.uk)

如果一个系综具有概率密度函数 $\rho(q,p,t)$ ，那么沿哈密顿轨迹运动时，其概率密度保持不变，由此得到刘维尔方程 $d\rho/dt=0$ 。这并不意味着固定位置处的概率密度不随时间变化。耗散系统通常不保持相应的相空间体积，其轨迹可能向具有吸引性的状态附近聚集。(damtp.cam.ac.uk)

统计解释

统计力学用可达状态上的概率分布，代替精确指定的微观状态。不同的平衡系综施加不同的限制条件或统计权重。对于处于平衡的孤立系统，微正则描述赋予指定能量下的所有可达状态相同的权重。在正则系综中，各状态的权重与 $e^{-\beta H}$ 成正比，其中 $\beta=1/(k_{\mathrm B}T)$ 。(damtp.cam.ac.uk)

对于处于经典范围内的 $N$ 个相同、无内部结构的粒子，配分函数为

Z_N=\frac{1}{N!h^{3N}}\int e^{-\beta H(q,p)}\,d\Gamma.

这里， $h$ 是普朗克常数。因子 $h^{3N}$ 给出半经典态计数的尺度，而 $N!$ 则用于修正粒子的不可分辨性。由此，相空间积分将微观动力学与熵、自由能等平衡态物理量联系起来。(damtp.cam.ac.uk)

量子相空间描述

在量子力学中，一个状态通常不能被解释为同时具有确定位置和动量的点。尽管如此，仍然可以采用相空间表述。维格纳函数用位置—动量变量表示量子态，但它是准概率分布，而不是普通的联合概率密度。它可以取与量子干涉相关的负值；在物理上有效的表示仍须满足量子态的正性与不确定性原理所施加的约束。(personal.utdallas.edu)