不动点

函数 $f:X\to X$ 的不动点是满足 $f(x^\ast)=x^\ast$ 的元素 $x^\ast\in X$。也就是说，对该元素应用函数后，它保持不变。这里的元素不一定是几何意义上的点，也可以是数、向量、函数或集合。不动点理论研究保证这类元素存在或唯一的条件，以及求出它们的方法。该理论的不同分支分别利用度量结构、拓扑结构或序结构。(math.ucdavis.edu)

定义与初等例子

对于以单个实数为变量的函数，不动点位于函数图像与对角线 $y=x$ 的交点处。等价地，它们是方程 $f(x)-x=0$ 的解。一个函数可能没有不动点，也可能恰有一个或有多个不动点；不动点是否存在，既取决于函数的表达式，也取决于其定义域。(maria-titova.com)

例如，直接代入可知，定义在 $\mathbb R$ 上的 $f(x)=x^2$ 有两个不动点 $0$ 和 $1$，而 $f(x)=x+1$ 没有不动点。恒等函数使其定义域中的每个元素都保持不变。映射 $f(x)=(x+2)/3$ 有唯一的不动点 $1$。这些例子也说明了不动点与函数零点的区别：前者满足 $f(x)=x$，后者满足 $f(x)=0$。

主要存在性定理

**巴拿赫不动点定理**也称压缩映射定理，适用于非空的完备度量空间 $(X,d)$。如果 $f:X\to X$ 是压缩映射，即存在常数 $0\leq q<1$，使得对任意 $x,y\in X$ 都有

那么 $f$ 恰有一个不动点。从任意 $x_0\in X$ 出发，反复应用 $f$ 所得到的序列都会收敛到该不动点。完备性保证了由此产生的柯西序列在该空间内存在极限。(math.ucdavis.edu)

**布劳威尔不动点定理则采用拓扑学条件。从有限维欧几里得空间的非空紧凸子集到其自身的每个连续函数都有不动点。与巴拿赫定理不同，它不保证不动点的唯一性，也不保证通常的迭代过程收敛。绍德尔不动点定理**将这一存在性结论推广到巴拿赫空间的非空紧、凸子集。(arxiv.org)

序理论中的不动点既不需要距离，也不需要几何意义上的连续性。**克纳斯特–塔斯基定理**指出，完备格上的保序自映射存在不动点，其中包括最小不动点和最大不动点。这里，完备格是指每个子集都有上确界和下确界的偏序集。此外，这些不动点在原有序关系下也构成一个完备格。(cs.utexas.edu)

迭代与计算

在数值分析中，**不动点迭代**通过下式构造逐次逼近值：

如果 $f$ 连续，且该序列收敛到 $x^\ast$，则对上式取极限可得 $x^\ast=f(x^\ast)$。在满足巴拿赫定理的假设时，迭代必然收敛，并有误差估计

一旦知道压缩常数，就可以据此给出定量的迭代停止准则。(eml.berkeley.edu)

仅有不动点的存在性，并不能保证迭代成功。一个简单的例子是 $f(x)=1-x$：它将 $[0,1]$ 连续地映射到自身，且有唯一的不动点 $1/2$。然而，从其他任何初值出发，迭代值都会在 $x_0$ 与 $1-x_0$ 之间交替，而不会收敛。因此，存在性定理与收敛的计算方法是两类不同的结果。

局部动力学与稳定性

不动点是由迭代描述的离散时间动力系统的静止状态。吸引不动点会使足够邻近的轨道趋向自身；排斥不动点则会使邻近轨道远离自身。对于连续可微的标量映射，导数的绝对值提供了一种局部判据：$|f'(x^\ast)|<1$ 意味着吸引性，而 $|f'(x^\ast)|>1$ 意味着排斥性。如果该绝对值等于 $1$，则仅凭这一判据无法确定其行为。(pi.math.cornell.edu)

这一区别关注的是不动点附近的行为，而不只是该点是否存在。它也解释了为什么两种代数上等价的不动点改写形式可能产生不同的数值行为：它们的迭代映射在同一个解处可能具有不同的导数。

在分析与计算中的应用

不动点的一个重要应用是证明微分方程解的存在性与唯一性。初值问题 $u'(t)=F(t,u(t))$、$u(t_0)=u_0$ 可以改写为不动点方程

等式右端在连续函数空间上定义了一个算子。在连续性和适当的利普希茨连续性假设下，取足够短的区间，这个算子就会成为相应函数空间上的压缩映射。它的不动点就是局部解。这一构造是皮卡–林德勒夫定理的基础。(web.mit.edu)

在理论计算机科学中，不动点为递归定义赋予数学意义。循环的语义学解释可以表示为某个算子的不动点，该算子描述执行一步后再继续执行的过程。在对部分计算赋予适当的序关系后，最小不动点能够刻画通过逐次逼近构造出的行为，其中也包括可能不终止的情形。康奈尔大学关于 while 循环语义的讲解使用了这样的算子，并借助序理论中的不动点结果来确立其含义。(courses.cs.cornell.edu)