连续函数是这样一种函数：只要输入与某一点足够接近，输出就与函数在该点的值任意接近。连续性的定义取决于函数的定义域，以及用来描述接近程度的结构。对于实值函数，连续性通过极限或 ε–δ 条件来表述；在更一般的空间中，则通过开集来表述。连续性是数学分析和拓扑学中的核心概念。(jirka.org)
在一点处的连续性
设 (D) 是实数集的一个子集，且 (f:D\to\mathbb R)。如果对于每个 (\varepsilon>0)，都存在一个 (\delta>0)，使得 [ x\in D,\quad |x-a|<\delta \quad\Longrightarrow\quad |f(x)-f(a)|<\varepsilon, ] 则称函数在 (a\in D) 处连续。这里，(\varepsilon) 给出了允许的输出偏差，而 (\delta) 给出了足够小的输入偏差。(\delta) 的选取可以同时依赖于 (\varepsilon) 和 (a)。如果函数在其定义域的每一点处都连续，就称它在该定义域上连续。(jirka.org)
当 (a) 是 (D) 的聚点时，上述定义等价于以下极限条件： [ \lim_{\substack{x\to a\x\in D}}f(x)=f(a). ] 对于区间的内点，左右两个单侧极限都必须等于函数值。对于包含在定义域中的端点，只需考虑从定义域内部趋近的情形。任何函数在其定义域的孤立点处都连续，因为足够小的邻域中没有其他定义域内的点。(jirka.org)
连续性也可以用序列来刻画：(f) 在 (a) 处连续，当且仅当每个收敛于 (a) 的序列 (x_n\in D) 都满足 (f(x_n)\to f(a))。这一等价关系在度量空间中成立，但在一般的拓扑空间中，仅凭保持收敛序列这一性质并不能刻画连续性。(math.ucla.edu)
例子与间断性
每个多项式都在 (\mathbb R) 上连续。有理函数在分母不为零的各点处连续。指数函数、对数函数和三角函数都在各自的定义域上连续。因此，(x\mapsto1/x) 在 (\mathbb R\setminus{0}) 上连续；严格来说，不能讨论这个函数在零点处是否连续，因为零不在它的定义域中。(openstax.org)
函数在定义域内的点处不连续，有以下几种情形：
- 可去间断：有限极限存在，但不等于该点的函数值。例如，令 (x\ne0) 时 (f(x)=x)，并令 (f(0)=1)，就会在零点处产生可去间断。
- 跳跃间断：有限的左极限和右极限都存在，但二者不相等。例如，一个函数在 (x<0) 时等于零，在 (x\ge0) 时等于一。
- 无穷间断：函数在该点附近表现出无界行为。
- 振荡间断：即使函数有界，也可能出现这种间断。例如，(\sin(1/x)) 最初定义于 (x\ne0)，无论在零点处赋予它什么值，都无法使其在该点连续。(openstax.org)
因此，人们熟悉的“画图时不必抬起笔”这一描述，只是针对某些以区间为定义域的函数所作的直观比喻，并不是一般性的定义。(openstax.org)
运算与主要定理
连续实值函数的和、差、积以及常数倍仍然连续。商函数在分母不为零的各点处仍然连续。只要参与复合的函数具有相容的定义域和陪域，函数复合也保持连续性。(jirka.org)
介值定理指出，定义在 ([a,b]) 上的连续函数会取到 (f(a)) 与 (f(b)) 之间的每一个值。特别地，如果两个端点处的函数值异号，那么它们之间至少存在一个零点。该定理保证的是存在性，而不是唯一性。(jirilebl.github.io)
极值定理指出，定义在非空紧致定义域上的连续实值函数，必定能取到绝对最小值和绝对最大值。有界闭实区间就是这样的定义域。如果缺少这些条件，函数可能无法取到这些值：定义在 ((0,1)) 上的 (f(x)=x) 虽然有界，却既取不到下确界，也取不到上确界。(jirilebl.github.io)
在微积分中，连续性将微分与积分联系起来。有限的导数存在意味着函数连续，但反过来并不成立：(|x|) 连续，却在零点处不可导。有界闭区间上的连续函数具有黎曼积分。微积分基本定理进一步表明，当 (f) 连续时，在区间的内点处有 [ \frac{d}{dx}\int_a^x f(t),dt=f(x). ] (jirka.org)
更强的连续性与函数列的极限
一致连续性要求：对于每个 (\varepsilon)，存在同一个 (\delta)，使其同时适用于定义域内的所有点。普通连续性则允许 (\delta) 随点而变化。紧度量空间上的每个连续函数都一致连续。然而，(f(x)=x^2) 虽然在 (\mathbb R) 上连续，却不在该空间上一致连续。(jirka.org)
利普希茨连续性要求满足一个定量界限： [ |f(x)-f(y)|\le L|x-y|, ] 其中 (L\ge0) 是固定的有限常数。利普希茨连续性蕴含一致连续性，但反之不成立。例如，(\sqrt{x}) 在 ([0,1]) 上一致连续，却不在该区间上满足利普希茨连续性。(jirka.org)
连续实值函数列的一致收敛极限仍然连续。仅有逐点收敛则不足以保证这一点：([0,1]) 上的连续函数 (f_n(x)=x^n) 在 (x<1) 时收敛于零，在 (x=1) 时收敛于一，从而得到一个不连续的极限函数。(jirka.org)
度量空间与拓扑空间中的表述
对于度量空间之间的映射，ε–δ 定义用各自的距离函数代替绝对值之差。这一定义也适用于多元函数；此时，接近指的是整个输入向量的接近，而不是分别沿各个坐标方向趋近。(jirka.org)
对于拓扑空间 (X) 和 (Y)，如果每个开集 (U\subseteq Y) 的原像 (f^{-1}(U)) 都在 (X) 中开，则称映射 (f:X\to Y) 连续。连续性并不要求开集的像也是开集。如果一个双射连续，且其逆映射也连续，就称它为同胚。连续映射保持紧致性：紧空间的像仍然是紧的。(math.ucla.edu)