函数的陪域是为其指定的目标集合。在记号 (f:A\to B) 中，(A) 是函数的定义域，即输入的集合，而 (B) 是陪域：每个函数值 (f(x)) 都必须属于 (B)。陪域不同于像，后者恰好由函数实际取到的值组成。因此，陪域中的某些元素可能从未作为输出出现。在讨论满射性、反函数和映射的复合时，这一区别十分重要。(jirka.org)
定义与记号
在集合论中，函数 (f:A\to B) 为 (A) 中的每个元素指定唯一一个 (B) 中的元素。它的函数图像是集合 [ \Gamma_f={(x,f(x)):x\in A}, ] 这是笛卡尔积 (A\times B) 的一个子集。图像中的每个元素都是一个有序对，记录一个输入及其输出。整个定义域的像为 [ f(A)={f(x):x\in A}, ] 并且必有 (f(A)\subseteq B)。(jirka.org)
对于函数这一数学对象应包含哪些信息，存在不同的约定。一种以图像为基础的约定将函数等同于其输入—输出对的集合；另一种指定源和目标的约定则将定义域和陪域也作为函数所包含的信息。按照后一种约定，即使每个输入对应的输出都保持不变，改变陪域仍会得到一个不同的函数。在范畴论的处理中，指定的目标是确定一个箭头所不可缺少的信息。(pages.jh.edu)
陪域与像的区别
考虑定义在实数上的函数 [ f:\mathbb R\to\mathbb R,\qquad f(x)=x^2. ] 它的陪域是 (\mathbb R)，但像是 ([0,\infty))：平方数总是非负的，而每个非负实数都是某个实数的平方。负数属于陪域，却不会被函数取到。同一对应法则也可以定义函数 [ g:\mathbb R\to[0,\infty),\qquad g(x)=x^2. ] 这两个映射具有完全相同的输入—输出对，但指定的目标不同。(pages.jh.edu)
因此，仅凭一个公式未必能确定陪域。对于定义域为 (\mathbb R\setminus{0}) 的对应法则 (f(x)=1/x)，可以将其陪域指定为 (\mathbb R)，尽管其像不包含零。同样，实值常函数 (h(x)=3) 的陪域可以是 (\mathbb R)，而像为 ({3})。目标集合是描述函数时指定的；像则由对应法则和定义域决定。(math.berkeley.edu)
满射性与反函数
满射函数也称为映上的函数，能够取到陪域中的每一个元素： [ f\text{ 是满射}\quad\Longleftrightarrow\quad f(A)=B. ] 因此，满射性取决于指定的目标，而不仅仅取决于公式。相比之下，单射函数要求不同的输入对应不同的输出。双射函数同时满足这两个条件。(jirka.org)
在上述平方函数的例子中，(f:\mathbb R\to\mathbb R) 不是满射，而 (g:\mathbb R\to[0,\infty)) 是满射。两者都不是单射，因为互为相反数的非零输入具有相同的平方。如果将定义域和陪域都改为 ([0,\infty))，平方函数就是双射。它的反函数是取非负平方根的函数。这些例子说明，缩小陪域可以使函数成为满射，但仅凭这一改变，无法消除不同输入产生相同输出的情况。(jirka.org)
改变陪域
若 (f:A\to B)，且 [ f(A)\subseteq C\subseteq B, ] 则同一对应法则可以定义一个函数 (A\to C)。这种改变称为**陪域限制**。上述包含关系保证原有的输出不会落在新的目标集合之外。将陪域限制为 (f(A))，总能得到一个满射函数。这与限制定义域不同：后者会排除一些原本允许的输入，因而可能使像缩小。(phil.cmu.edu)
陪域限制还给出如下分解： [ A\xrightarrow{\bar f}f(A)\xrightarrow{i}B, ] 其中，(\bar f(x)=f(x)) 是满射，(i) 是将像嵌入原陪域的包含映射。这两个映射的复合具有与原函数完全相同的对应法则。这一分解将函数实际取到的值与包含这些值的更大集合区分开来。(phil.cmu.edu)
复合与范畴论中的目标
对于函数复合，标准的设置是 [ f:A\to B,\qquad g:B\to C, ] 由此得到 (g\circ f:A\to C)，其中 ((g\circ f)(x)=g(f(x)))。(f) 的陪域与 (g) 的定义域相同，从而保证第一个映射的每个输出都可作为第二个映射的输入。(math.berkeley.edu)
在范畴论中，每个箭头都有指定的源和目标，这是定义域和陪域概念的推广。集合范畴以集合为对象，以具有指定定义域和陪域的函数为箭头。其他例子包括以拓扑空间为对象、以连续函数为箭头的范畴，以及以群为对象、以同态为箭头的范畴。在这里，目标带有数学结构，而不只是标明一个允许输出值所在的集合。(math.jhu.edu)
线性映射
在线性代数中，线性映射 (T:V\to W) 的陪域是向量空间 (W)。它的像（线性映射） (T(V)) 是 (W) 的一个线性子空间，也可能是真子空间。矩阵的秩衡量的是这个像的维数（向量空间），并不必然等于陪域的维数。(math.dartmouth.edu)
例如，由 (T(x,y)=(x,0)) 定义的映射 (T:\mathbb R^2\to\mathbb R^2)，其陪域是整个平面，像却只有水平轴。它的秩为一。当 (W) 是有限维空间时，线性映射是满射当且仅当它的秩等于 (\dim W)，因为此时它的像必定是整个目标空间。(math.dartmouth.edu)