笛卡尔积 · aiwiki.page

笛卡尔积是集合论中的一种构造，通过形成集合元素的所有有序选取组合，将多个集合组合起来。对于两个集合 $A$ 和 $B$ ，其笛卡尔积记为 $A\times B$ ，由所有满足 $a\in A$ 且 $b\in B$ 的有序对 $(a,b)$ 组成。这一构造可以推广到有限个集合，以及任意指标集所标记的集合族。与数的乘法不同，笛卡尔积的结果是一个集合，其中每个元素的各个坐标都保留其位置。(homepages.ucl.ac.uk)

定义与例子

形式上，

A\times B=\{(a,b)\mid a\in A,\ b\in B\}.

有序对的定义性性质为

(a,b)=(c,d)\quad\Longleftrightarrow\quad a=c\text{ 且 }b=d.

因此，每个有序对内部的顺序至关重要，但列举这些有序对时的先后顺序并不重要。坐标可以是数、符号、集合或其他数学对象。(homepages.ucl.ac.uk)

例如，若 $A=\{1,2\}$ ， $B=\{x,y,z\}$ ，则

A\times B= \{(1,x),(1,y),(1,z),(2,x),(2,y),(2,z)\}.

$A$ 中的每个元素都与 $B$ 中的每个元素配对，因此这个积有六个元素。各因子不必互不相交，同一个有序对中的坐标也可以重复： $(1,1)$ 就属于 $\{1,2\}\times\{1,2\}$ 。(math.libretexts.org)

在几何学中，实数集与自身的积

\mathbb R^2=\mathbb R\times\mathbb R

给出了平面的坐标表示。更一般地，赋予通常几何结构的 $\mathbb R^n$ 表示 $n$ 维欧几里得空间。(math.libretexts.org)

基本性质

若任一因子是空集，则积为空集：

A\times\varnothing=\varnothing\times A=\varnothing.

反之，两个非空因子的积非空，因为从每个因子中各选一个元素，就能组成一个有序对。(math.unm.edu)

若按集合本身的相等来理解，笛卡尔积通常不满足交换律： $A\times B$ 不一定等于 $B\times A$ 。不过，交换坐标的映射

(a,b)\longmapsto(b,a)

是两者之间的双射函数。类似地， $(A\times B)\times C$ 与 $A\times(B\times C)$ 包含的有序对具有不同的嵌套方式，但改变结合方式的映射

((a,b),c)\longmapsto(a,(b,c))

是一个自然的双射。在数学记号中，常将两者都视为有序三元组，从而省略这些区别。(math.cmu.edu)

笛卡尔积对任一坐标上的并集和交集都满足分配律。例如，

A\times(B\cup C)=(A\times B)\cup(A\times C),

A\times(B\cap C)=(A\times B)\cap(A\times C).

逐一检验坐标的归属即可证明这些恒等式。(math.libretexts.org)

对于有限集合，其基数满足

|A\times B|=|A|\,|B|.

第一坐标有 $|A|$ 种选择，而每一种第一坐标都对应 $|B|$ 种可能的第二坐标。这是组合数学中乘法原理的一个实例。(homepages.ucl.ac.uk)

有限积与指标积

对于集合 $A_1,\ldots,A_n$ ，有限积为

\prod_{i=1}^{n}A_i =\{(a_1,\ldots,a_n)\mid \text{对每个 }i,\ a_i\in A_i\}.

其元素是有序的元组。当所有因子都是同一个集合 $A$ 时，通常记为 $A^n$ 。若各因子都是有限集合，则积的基数等于各因子基数的乘积。(math.unm.edu)

对于任意指标集 $I$ ，积中的元素可以描述为一个从每个因子中选取一个坐标的函数：

\prod_{i\in I}A_i = \left\{ f:I\to\bigcup_{i\in I}A_i \ \middle|\ \text{对每个 }i,\ f(i)\in A_i \right\}.

这一定义无需使用有限元组的记法，也适用于无限集合族。当 $I$ 为空集时，这样的函数恰好只有一个，即空函数，因此空积是一个单元素集。(public.csusm.edu)

非空集合的有限积非空，这不需要任何额外的选择原则。对于任意集合族，“非空集合的积总是非空”这一断言在策梅洛—弗兰克尔集合论中等价于选择公理。(math.uwaterloo.ca)

关系、函数与投影

从 $A$ 到 $B$ 的一个二元关系是 $A\times B$ 的一个子集，用于指定哪些有序对满足某个条件。函数 $f:A\to B$ 的图为

\{(a,f(a))\mid a\in A\}\subseteq A\times B,

其中每个输入都恰好与一个输出配对。因此，笛卡尔积提供了描述关系和函数的图所需的背景集合。(math.cmu.edu)

坐标投影为

\pi_A(a,b)=a,\qquad \pi_B(a,b)=b.

它们体现了一条泛性质：给定函数 $f:X\to A$ 和 $g:X\to B$ ，存在唯一的函数

h:X\to A\times B,\qquad h(x)=(f(x),g(x)),

使得 $\pi_A\circ h=f$ 且 $\pi_B\circ h=g$ ，其中 $\circ$ 表示函数复合。这一性质通过积与映入各因子的映射之间的关系，刻画了积。(public.csusm.edu)

附加结构与计算应用

对于拓扑空间，其底层集合的笛卡尔积上可以赋予积拓扑。在有限积中，各因子中开集的积构成一个基。在无限积中，基本开集只对有限多个坐标施加限制，其余所有坐标均不受限制。底层集合的构造与赋予其上的拓扑是两个不同的组成部分。(public.csusm.edu)

在关系数据库中，交叉连接实现的是行的笛卡尔积。诸如 T1 CROSS JOIN T2 这样的 SQL 表达式会将第一张表的每一行与第二张表的每一行组合，并保留两张表的所有列。若两张表分别有 $m$ 行和 $n$ 行，则筛选前的结果有 $mn$ 行。SQL 表可以保留重复行，因此这一操作遵循的是 SQL 的行语义，不一定与不含重复元素的数学集合具有相同的行为。(postgresql.org)