海涅–博雷尔定理

海涅–博雷尔定理刻画了欧几里得空间中的紧性：在通常拓扑下， $\mathbb{R}^n$ 的子集是紧的，当且仅当它是闭且有界的。该定理将一个通过任意开覆盖定义的性质，与两个相对初等的几何条件联系起来。将 $\mathbb{C}^n$ 与 $\mathbb{R}^{2n}$ 等同后，同样的刻画也适用于 $\mathbb{C}^n$ 。(www2.math.upenn.edu)

定理表述与术语

对于任意正整数 $n$ 和任意子集 $K\subseteq\mathbb{R}^n$ ，

K\text{ 是紧的} \quad\Longleftrightarrow\quad K\text{ 是闭且有界的}.

这里，闭是指 $K$ 是所在空间 $\mathbb{R}^n$ 中的闭集；有界是指存在有限的 $R$ ，使得

\|x\|\le R\qquad\text{对每个 }x\in K\text{ 都成立},

其中 $\|\cdot\|$ 为欧几里得范数。所在空间及其通常拓扑都是定理表述中不可或缺的部分。(math.uchicago.edu)

$K$ 的一个开覆盖是指一族开集 $\{U_\alpha\}_{\alpha\in A}$ ，其并集包含 $K$ 。紧性意味着每个这样的覆盖都有有限子覆盖：

K\subseteq U_{\alpha_1}\cup\cdots\cup U_{\alpha_m}.

所选的集合必须来自原来的覆盖，而覆盖本身不必是有限的，也不必是可数的。(dpmms.cam.ac.uk)

一种常见的区间形式表述为：闭有界区间 $[a,b]$ 的每个开覆盖都有有限子覆盖。这一维结果也称为海涅–博雷尔定理，并可作为推广到一般欧几里得空间的起点。(maths.tcd.ie)

证明结构

紧集是闭且有界的

这一蕴含关系在所有度量空间中都成立，而不只限于欧几里得空间。要证明有界性，可用以某个固定点为中心、半径为正整数的开球覆盖一个紧集。由紧性可取有限子覆盖，因此该集合包含在所选开球中半径最大的那个球内。(math.uchicago.edu)

要证明闭性，取一点 $y\notin K$ 。对每个 $x\in K$ ，令 $r_x=d(x,y)/3$ 。存在有限个球 $B(x_i,r_{x_i})$ 覆盖 $K$ 。若令

\delta=\min_i r_{x_i}>0,

则由三角不等式可知， $B(y,\delta)$ 与这些球均不相交。因此， $K$ 的补集是开集，所以 $K$ 是闭集。这直接证明了上述蕴含关系在一般度量空间中成立。(math.uchicago.edu)

闭有界区间是紧的

设 $\mathcal U$ 覆盖 $[a,b]$ ，定义

S=\{t\in[a,b]:[a,t]\text{ 可由 }\mathcal U\text{ 中有限个集合覆盖}\}.

集合 $S$ 包含 $a$ ，且有上界。由实数的上确界性质， $s=\sup S$ 存在。

选取包含 $s$ 的 $U\in\mathcal U$ ，并选取 $\varepsilon>0$ ，使得

(s-\varepsilon,s+\varepsilon)\subseteq U.

存在 $t\in S$ 满足 $t>s-\varepsilon$ 。因此，将 $[a,t]$ 的一个有限覆盖与 $U$ 合在一起，就能覆盖 $[a,s]$ ；若 $s<b$ ，这个覆盖还能延伸到 $s$ 右侧。这后一种情况与 $s$ 的定义矛盾。因此 $s=b$ ，而同样的构造便给出了 $[a,b]$ 的有限覆盖。(maths.tcd.ie)

推广到高维

有限个紧区间的笛卡尔积是紧的。因此，每个闭长方体

[a_1,b_1]\times\cdots\times[a_n,b_n]

都是紧的。 $\mathbb{R}^n$ 的任意有界子集都包含在某个这样的长方体内，而紧空间的闭子集也是紧的。这些事实完成了反向蕴含的证明。(www2.math.upenn.edu)

序列形式

在度量空间中，紧性等价于序列紧性：每个序列都有一个子序列收敛到该空间中的某一点。因此，欧几里得空间中的定理也可表述为

K\text{ 是闭且有界的} \quad\Longleftrightarrow\quad K\text{ 中每个序列都有子序列收敛到 }K\text{ 中的某一点}.

极限必须属于 $K$ ，这一要求不可省略。(dpmms.cam.ac.uk)

这一表述与博尔查诺–魏尔斯特拉斯定理密切相关，后者断言 $\mathbb{R}^n$ 中的每个有界序列都有收敛子序列。闭性保证所得的极限仍在集合内。反过来，序列紧性也必然蕴含有界性和闭性。(www2.math.upenn.edu)

例子与应用

利用这一刻画，可以得到闭区间、闭球、球面、有限集以及康托尔集等紧集。紧性既不要求内部非空，也不要求连通。相比之下， $(0,1)$ 有界但不闭，而 $\mathbb{R}$ 闭但无界；两者都不是紧集。(www2.math.upenn.edu)

开区间的例子说明了为什么是否包含边界点很重要。集合

U_m=(1/m,1),\qquad m=2,3,\ldots,

覆盖 $(0,1)$ ，但任何有限子族都无法覆盖它：有限选取总会遗漏足够接近零的点。这给出了一个明确的开覆盖，证明该区间不具有紧性。(www2.math.upenn.edu)

该定理使紧性能够用于许多关于连续函数的论证：

最值的取得。 根据极值定理，非空闭有界欧几里得集合上的连续实值函数能够取得最小值和最大值。
一致连续性。 从紧度量空间到度量空间的连续映射具有一致连续性。特别地，这一结论适用于闭有界的欧几里得定义域。
连续像。 紧集的连续像是紧的；如果其像位于欧几里得空间中，那么它就是闭且有界的。(maths.ox.ac.uk)

在数学优化中，第一条推论给出了一个存在性结果：非空闭有界可行集上的连续目标函数存在全局最小值点。它既不能保证唯一性，也不提供寻找该最小值点的算法。(maths.ox.ac.uk)

适用范围与局限

在任意度量空间中，闭性和有界性并不能刻画紧性。一个具体的例子是希尔伯特空间 $\ell^2$ 中的标准单位向量 $e_1,e_2,\ldots$ 。它们都位于该空间的闭单位球内，但

\|e_i-e_j\|=\sqrt2\qquad(i\ne j).

这个序列没有收敛子序列，因此该闭有界球不是紧的。这说明欧几里得空间中的判据在无限维情形下会失效。(math.uchicago.edu)

在一般度量空间中，相应的替代定理是

K\text{ 是紧的} \quad\Longleftrightarrow\quad K\text{ 是完备且全有界的},

其中 $K$ 配备诱导度量。完备是指每个柯西序列都在 $K$ 中收敛。**全有界**是指，对任意 $\varepsilon>0$ ，都存在有限个半径为 $\varepsilon$ 的球覆盖 $K$ 。通常的有界性控制整体大小，而全有界性则保证在每个尺度上都有有限覆盖。(dpmms.cam.ac.uk)

在完备度量空间中，相应的子集判据是“闭且全有界”。欧几里得空间之所以满足看似更强的海涅–博雷尔表述，是因为欧几里得空间中的有界集都是全有界的。(ncatlab.org)

历史发展

该定理以爱德华·海涅和埃米尔·博雷尔命名，但其现代表述是多位数学家共同推进的结果。海涅在 1872 年的工作涉及闭区间上的一致连续性。1895 年，博雷尔发表了关于可数区间覆盖的有限覆盖定理。随后，阿图尔·舍恩弗利斯和亨利·勒贝格等数学家的工作将覆盖形式的表述推广到了不可数情形。因此，这一历史命名反映的是相关的证明方法及后续推广，而不是海涅和博雷尔共同发表过一篇论文。(mathshistory.st-andrews.ac.uk)

参考来源

Compactness and Heine-Borel — Advanced Analysiswww2.math.upenn.edu
MATH 395 Notesmath.uchicago.edu
Compactness and the Heine-Borel Theorem (continued)maths.tcd.ie
Advanced Analysis — Compactness and Connectednesswww2.math.upenn.edu
Part A Mathematics Synopses 2023–24maths.ox.ac.uk
Heine-Borel theorem in nLabncatlab.org
Eduard Heine — MacTutor History of Mathematicsmathshistory.st-andrews.ac.uk