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数学 / cauchy-sequence

柯西序列

柯西序列的各项在足够靠后时彼此任意接近；在完备度量空间中，每个柯西序列都收敛。

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柯西序列是指各项在足够靠后时彼此任意接近的序列。在数学分析中，它提供了一种研究收敛性的方法，无须事先确定可能的极限。其定义条件比较的是序列各项之间的距离，而不是各项与某个假定极限点之间的距离。如果一个空间中的每个柯西序列都收敛到该空间内的某个点，就称这个空间是完备的。(live.ocw.mit.edu)

定义

设 (X,d)(X,d) 是一个度量空间，(xn)n=1∞(x_n)_{n=1}^{\infty} 是 XX 中的点列。若满足

∀ε>0  ∃N∈N  ∀m,n≥N,d(xm,xn)<ε,\forall\varepsilon>0\;\exists N\in\mathbb N\; \forall m,n\ge N,\qquad d(x_m,x_n)<\varepsilon,

则称该序列为柯西序列。

这里的 NN 可以依赖于 ε\varepsilon，但同一个 NN 必须适用于满足 m,n≥Nm,n\ge N 的每一对下标。因此，序列的整个尾部中，任意两项之间的距离都必须能够任意小。对于任意固定的有限个初始项，则不施加任何条件。(live.ocw.mit.edu)

对于实数序列或复数序列，采用通常的距离时，上述条件等价于

∣xm−xn∣<ε(m,n≥N).|x_m-x_n|<\varepsilon\qquad(m,n\ge N).

在赋范向量空间中，距离由两项之差的范数来度量，因此条件变为 ∥xm−xn∥<ε\|x_m-x_n\|<\varepsilon。所以，只要指定了适当的度量，这一概念就适用于数、向量和函数。(jirka.org)

与收敛性的关系

度量空间中的每个收敛序列都是柯西序列。若 xn→xx_n\to x，则可选取 NN，使得只要 n≥Nn\ge N，就有 d(xn,x)<ε/2d(x_n,x)<\varepsilon/2。由三角不等式可得

d(xm,xn)≤d(xm,x)+d(x,xn)<ε.d(x_m,x_n) \le d(x_m,x)+d(x,x_n) <\varepsilon.

反之则未必成立：各项彼此接近，并不能保证它们所在的空间包含序列所趋近的那个点。(live.ocw.mit.edu)

按照定义，完备度量空间就是每个柯西序列都收敛的度量空间。R\mathbb R、C\mathbb C，以及采用欧几里得距离的有限维欧几里得空间都是完备的。因此，在这些空间中，柯西收敛准则可以完全通过序列各项之间的比较来刻画收敛性。(ocw.mit.edu)

每个柯西序列都是有界的，其每个子序列也都是柯西序列。此外，如果一个柯西序列有收敛的子序列，那么整个序列都收敛到同一个极限。这些性质说明，柯西条件不仅能检验一个已知的结果，还能用于证明极限的存在性。(jirka.org)

例子与反例

序列 xn=1/nx_n=1/n 是 R\mathbb R 中的柯西序列。事实上，对于 m,n≥Nm,n\ge N，有

∣1m−1n∣≤1N,\left|\frac1m-\frac1n\right|\le\frac1N,

而右侧可以任意小。该序列收敛到 00。如果将同一个序列视为取值于 (0,1](0,1] 的序列，并在这个空间上采用继承自 R\mathbb R 的度量，那么它仍是柯西序列，却在该空间内没有极限。因此，完备性既涉及距离，也涉及空间中有哪些点。(ocw.mit.edu)

另一个例子是将 2\sqrt2 的小数展开逐位截断得到的序列：

1,1.4,1.41,1.414,…1,\quad1.4,\quad1.41,\quad1.414,\quad\ldots

这些数构成一个有理数柯西序列，但它们在实数中的极限是一个无理数。因此，采用通常度量的 Q\mathbb Q 并不完备。这说明了柯西序列在区分有理数系与实数系时所起的作用。(webspace.maths.qmul.ac.uk)

仅有有界性并不足够：(−1)n(-1)^n 虽然有界，却不是柯西序列，因为无论下标多大，总能找到距离为 22 的两项。同样，条件 ∣xn+1−xn∣→0|x_{n+1}-x_n|\to0 也不够。调和级数的相邻部分和之差趋于零，但

∑k=n+12n1k≥12.\sum_{k=n+1}^{2n}\frac1k\ge\frac12.

因此，在任意靠后的部分和中，总有某些对之间的距离不小于一个固定的正数。这些例子直接说明，条件必须涵盖所有足够靠后的项对，而不能只考虑相邻项。(jirka.org)

空间的完备化

柯西序列为度量空间的度量完备化提供了一种标准构造。当两个柯西序列 (xn)(x_n) 和 (yn)(y_n) 满足

d(xn,yn)⟶0d(x_n,y_n)\longrightarrow0

时，规定它们等价。

这定义了一个等价关系。两个序列所属等价类之间的距离定义为

d^([xn],[yn])=lim⁡n→∞d(xn,yn).\widehat d([x_n],[y_n]) =\lim_{n\to\infty}d(x_n,y_n).

由此得到的空间是完备的。将原空间中的每个点对应到以该点为各项的常值序列，就能把原空间嵌入这个完备空间；其像是完备化空间中的一个稠密集。在保持这一嵌入的等距双射意义下，完备化是唯一的。(ocw.mit.edu)

对采用通常绝对值距离的有理数空间应用这一构造，就得到实数。赋范空间的完备化得到巴拿赫空间，而内积空间在其诱导范数下的完备化得到希尔伯特空间。这些构造在泛函分析中具有核心地位。(ocw.mit.edu)

函数序列与迭代方法

对于闭有界区间上的连续函数，上确界范数度量的是两个函数之间的最大差异。一个函数序列在此范数下是柯西序列，当且仅当

∀ε>0  ∃N  ∀m,n≥N  ∀t∈[a,b],∣fm(t)−fn(t)∣<ε.\forall\varepsilon>0\;\exists N\; \forall m,n\ge N\;\forall t\in[a,b], \quad |f_m(t)-f_n(t)|<\varepsilon.

一致柯西准则刻画了实值函数序列的一致收敛。空间 C([a,b])C([a,b]) 在上确界范数下是完备的，因此其中的柯西序列一致收敛到一个连续函数。(ocw.mit.edu)

柯西估计也是巴拿赫不动点定理的基础。对于压缩系数为 0≤q<10\le q<1 的压缩映射 TT，迭代 xn+1=T(xn)x_{n+1}=T(x_n) 在 m>nm>n 时满足

d(xm,xn)≤qn1−q d(x1,x0).d(x_m,x_n) \le \frac{q^n}{1-q}\,d(x_1,x_0).

这一几何衰减的上界证明了迭代序列是柯西序列。因此，在非空完备度量空间中，该序列收敛到 TT 的唯一不动点。(jirka.org)