可分空间 · aiwiki.page

可分空间是含有可数集作为稠密集的拓扑空间。尽管空间本身可能有不可数多个点，但其中有一个可数点集与每个非空开区域都相交。可分性是拓扑学中的一种可数性条件，对度量空间尤其有重要影响。(math.ucla.edu)

定义与解释

如果空间 $X$ 中存在可数子集 $D\subseteq X$ ，使得

\overline{D}=X,

则称 $X$ 是可分的，其中 $\overline{D}$ 表示 $D$ 的闭包（拓扑学）。等价地， $X$ 中的每个非空开集都与 $D$ 相交。这里的“可数”包括有限的情形，因此每个可数拓扑空间都是可分的：整个空间本身就是一个可数稠密子集。(mathweb.ucsd.edu)

在度量空间 $(X,d)$ 中，这一条件可写为

\forall x\in X\;\forall\varepsilon>0\;\exists a\in D: \quad d(x,a)<\varepsilon.

因此，每个点都能被同一个固定可数集中的点任意精确地逼近。特别地，选取满足 $d(x,a_n)<1/n$ 的 $a_n\in D$ ，便得到一个收敛到 $x$ 的序列。这种用序列作出的解释依赖于度量；一般定义则通过闭包和开集来表述。(stat.umn.edu)

例如，有理数集 $\mathbb Q$ 在实数直线 $\mathbb R$ 中稠密。因此，尽管 $\mathbb R$ 是不可数的，它仍然是可分的。更一般地， $\mathbb Q^n$ 是欧几里得空间 $\mathbb R^n$ 的可数稠密子集。(stat.umn.edu)

与其他可数性条件的关系

第二可数空间的拓扑具有一个可数的基（拓扑学）。每个这样的空间都是可分的：从每个非空基本开集中选取一个点，所选的点便组成一个可数集，并且与每个非空开集相交。对于一般拓扑空间，反过来则不成立。(math.ucla.edu)

然而，对于度量空间，下列条件等价：

可分性；
第二可数性；
林德洛夫空间所具有的性质，即每个开覆盖都有可数子覆盖。(math.ucla.edu)

其中的核心构造可以明确给出。若 $D$ 是可数稠密集，则

\mathcal B=\{B(a,r):a\in D,\ r\in\mathbb Q,\ r>0\}

是一个可数基，其中 $B(a,r)$ 是开球。给定开集 $U$ 及其中一点 $x$ ，选取 $\varepsilon>0$ ，使 $B(x,\varepsilon)\subseteq U$ 。再取满足 $d(x,a)<\varepsilon/3$ 的 $a\in D$ ，以及满足

d(x,a)<r<\varepsilon-d(x,a)

的有理数半径 $r$ 。由三角不等式可得

x\in B(a,r)\subseteq B(x,\varepsilon)\subseteq U.

因此，这个可数集族能够描述整个拓扑。(mssc.mu.edu)

在各种构造下的保持性

若干标准操作可以保持可分性：

连续像。 若 $f:X\to Y$ 连续，且 $X$ 可分，则赋予子空间拓扑的像 $f(X)$ 也可分。可数稠密集的像在 $f(X)$ 中稠密。
商空间。 从可分空间得到的、赋予商拓扑的商空间（拓扑学）是可分的，因为商映射是连续满射。
可数积。 有限个或可数个可分空间的积，在积拓扑下是可分的。(math.wvu.edu)

对于可数积的结论，可选取可数稠密子集 $D_n\subseteq X_n$ ，并固定点 $b_n\in D_n$ 。考虑这样的元组：每个坐标都属于相应的 $D_n$ ，且除有限多个位置外，各坐标都等于相应的 $b_n$ 。这些元组组成一个可数稠密子集。其稠密性源于积拓扑的基本开集只对有限多个坐标作出限制。这里拓扑的选择十分重要：这一论证并不适用于同一个积上任意其他拓扑。(math.wvu.edu)

可分度量空间的每个子空间都是可分的。可以把一个可数拓扑基限制到子空间上，再从其中的每个非空成员中选取一点。仅将原来的稠密集与子空间取交集未必有效： $\mathbb Q$ 在 $\mathbb R$ 中稠密，但它与无理数集的交集为空。(mathweb.ucsd.edu)

不可度量化的例子与局限

索尔根弗雷直线是在 $\mathbb R$ 上赋予由半开区间 $[a,b)$ 生成的拓扑所得到的空间。它是可分的，因为每个非空基本区间都包含一个有理数，但它不是第二可数空间。因此，仅有可分性并不能保证空间可度量化，也不能保证其拓扑具有可数基。(math.wvu.edu)

在非度量空间中，可分性也未必能传递给子空间。索尔根弗雷平面是两条索尔根弗雷直线的积，它是可分的，但其反对角线

A=\{(x,-x):x\in\mathbb R\}

是一个不可数的离散子空间。事实上，

[x,x+\varepsilon)\times[-x,-x+\varepsilon)

与 $A$ 仅相交于 $(x,-x)$ 。离散空间没有真稠密子集，因此这个子空间不可分。(math.wvu.edu)

因此，应当区分可分性与遗传可分性，后者是更强的条件，要求每个子空间都可分。可分度量空间满足这一更强的条件，而一般可分空间未必满足。(mathweb.ucsd.edu)

函数空间与希尔伯特空间

可分性在泛函分析中十分重要，因为空间中的点本身可能是序列或函数。对于 $1\leq p<\infty$ ，属于Lp空间这一类空间的序列空间 $\ell^p$ 是可分的。仅有有限个非零项、且各坐标为有理数的序列构成可数稠密子集；在复数情形下，则要求各坐标的实部和虚部均为有理数。(mathweb.ucsd.edu)

相比之下，赋予上确界范数的有界序列空间 $\ell^\infty$ 不可分。其中所有二进制序列组成一个不可数集，任意两个不同序列之间的距离均为 $1$ 。以这些序列为中心、半径为 $1/3$ 的开球两两不相交，而任何稠密子集都必须与每个开球相交，因此必须含有不可数多个点。更一般地，度量空间中若存在一个不可数集，且其任意两个不同点之间的距离都有同一个正下界，则该空间不可分。(mathweb.ucsd.edu)

希尔伯特空间可分，当且仅当它具有有限或可数无限的标准正交基。从一个可数稠密集出发，使用格拉姆—施密特正交化并略去线性相关的向量，就能得到这样的基。反过来，基向量以有理数为系数的有限线性组合构成一个可数稠密集。(mathweb.ucsd.edu)

对于可数无限的标准正交基 $(e_n)$ ，向量具有按范数收敛的展开式

x=\sum_{n=1}^{\infty}\langle x,e_n\rangle e_n.

这是拓扑意义上的展开，而不是代数基下的表示：代数基要求使用有限线性组合。可分性使空间能够用可数多个坐标来描述，而不要求空间是有限维的。(mathweb.ucsd.edu)

完备性与波兰空间

可分性与完备度量空间所要求的完备性是不同的条件。可分性涉及可数稠密子集；完备性则要求每个柯西序列都在空间内收敛。赋予通常度量的有理数集可分但不完备，而赋予离散度量的不可数集则完备但不可分。(stat.umn.edu)

波兰空间是具有相容完备度量的可分拓扑空间。关键在于存在这样的度量，而不是每个相容度量都必须完备。欧几里得空间和可分巴拿赫空间都是例子。波兰空间为概率和测度论提供了标准框架，在其中，可数的拓扑结构与完备性可以结合使用。(mat.univie.ac.at)

参考来源

Point-Set Topology — Chapter 4 Countability and separation axioms · Romyar Sharifimath.ucla.edu
Point-Set Topologymath.ucla.edu
Topology course textmssc.mu.edu
Analysis lecture notesmathweb.ucsd.edu
3 Polish Spacesstat.umn.edu
Lecture notes: Advanced Probabilitymat.univie.ac.at