基（拓扑学） · aiwiki.page

在拓扑学中，拓扑空间的基是一族开集，其中的集合通过取并可以得到该空间的每个开集。这族集合的成员称为基元素或基本开集。基能够描述一个拓扑，而无需逐一列出它的所有开集，同时还为判断开性和连续性提供了局部判据。(leanprover-community.github.io)

定义与基公理

设 $(X,\tau)$ 是一个拓扑空间。如果每个 $U\in\tau$ 都是 $\mathcal B$ 中若干成员的并，则称集合族 $\mathcal B\subseteq\tau$ 是 $\tau$ 的一个基。等价地，只要 $x\in U$ 且 $U$ 是开集，就存在 $B\in\mathcal B$ ，使得

x\in B\subseteq U.

这个条件说明，每个点的任意开邻域中，都能找到包含该点的基本开集。(math.toronto.edu)

也可以先指定一个基，再由它确定拓扑。由 $X$ 的一族子集通过取并生成拓扑，当且仅当这族集合满足以下两个条件：

覆盖性： 每个 $x\in X$ 都属于某个 $B\in\mathcal B$ 。
交集的局部细化性： 若 $x\in B_1\cap B_2$ ，其中 $B_1,B_2\in\mathcal B$ ，则存在 $B_3\in\mathcal B$ ，满足
$x\in B_3\subseteq B_1\cap B_2.$

交集本身不必是基元素，只需是若干基元素的并。(math.toronto.edu)

生成的拓扑为

\tau_{\mathcal B} =\left\{\bigcup\mathcal C:\mathcal C\subseteq\mathcal B\right\}.

覆盖性保证 $X$ 是开集。空集是空子族的并。任意并仍然是基元素的并，而细化条件保证这族开集对有限交封闭。这些性质验证了拓扑公理。(pi.math.cornell.edu)

例子

在实数直线 $\mathbb R$ 上，所有开区间 $(a,b)$ 构成通常拓扑的一个基。端点为有理数的开区间也足够构成一个基：开区间中的每个点，都位于一个包含于原区间、且端点为有理数的更小开区间中。因此，不同的基可以生成完全相同的拓扑。(math.mit.edu)

在度量空间 $(X,d)$ 中，所有开球

B_d(x,r)=\{y\in X:d(x,y)<r\},\qquad r>0,

构成一个基。在欧几里得空间 $\mathbb R^n$ 中，开矩形盒构成同一拓扑的另一个基。例如，在平面上，开圆盘与边平行于坐标轴的开正方形生成相同的拓扑，因为对于其中任意一种图形内的任意一点，都能找到包含该点、且完全位于该图形内的另一种图形。(pi.math.cornell.edu)

对于离散拓扑，所有单点集构成一个基：每个子集都是单点集的并。对于非空集合 $X$ 上的平凡拓扑，集合族 $\{X\}$ 是一个基。(pi.math.cornell.edu)

基的比较与子基

设 $\mathcal B_1$ 和 $\mathcal B_2$ 在同一个集合上分别生成拓扑 $\tau_1$ 和 $\tau_2$ 。那么， $\tau_2$ 比 $\tau_1$ 更细，即 $\tau_1\subseteq\tau_2$ ，当且仅当每个 $\mathcal B_1$ 中的元素所含的每一点，都属于某个包含于该元素的 $\mathcal B_2$ 中的元素。如果这个细化条件在两个方向上都成立，则两个拓扑相同。(math.toronto.edu)

子基是一族集合，其有限交构成一个基。因此，由子基生成拓扑通常需要两步操作：先取有限交，再取任意并。约定空交等于 $X$ 时，任意一族子集都能以这种方式生成一个拓扑。Mathlib 中拓扑基的形式化定义也体现了这一区别：对于基，仅取并就必须足够。(math.toronto.edu)

局部基与可数性

点 $x$ 处的局部基是 $x$ 的一族邻域，使得 $x$ 的每个邻域都包含这族集合中的某个成员。与整个拓扑的基不同，局部基只涉及一个点。给定一个全局基 $\mathcal B$ ，集合族

\mathcal B_x=\{B\in\mathcal B:x\in B\}

就是 $x$ 处的一个局部基。(math.mit.edu)

第一可数空间在每一点处都有可数局部基。第二可数空间则具有一个为可数集的全局基。第二可数性蕴含第一可数性，但反之不成立：不可数的离散空间在每一点处都有仅由该点的单点集构成的局部基，然而它的每个全局基都必须包含所有单点集。(math.mit.edu)

第二可数空间是可分空间，也是林德勒夫空间。从每个非空基本开集中选取一个点，就得到一个可数稠密集。对于任意开覆盖，考虑所有包含于某个覆盖成员的基本开集，并为每个这样的基本开集选取一个包含它的覆盖成员，就得到一个可数子覆盖。(math.ucla.edu)

构造与应用

若 $A\subseteq X$ ，则集合族

\{A\cap B:B\in\mathcal B\}

是 $A$ 上子空间拓扑的一个基。若 $\mathcal B_X$ 和 $\mathcal B_Y$ 分别是 $X$ 和 $Y$ 的基，则笛卡尔积 $B_X\times B_Y$ 构成 $X\times Y$ 上积拓扑的一个基。在任意多个空间的积中，基本开集只对有限多个坐标施加限制，其余坐标均不受限制。(pi.math.cornell.edu)

要检验映射 $f:X\to Y$ 是否为连续函数，只需验证：对于 $Y$ 的某个基中的每个成员 $B$ ，原像 $f^{-1}(B)$ 都是开集。因为 $Y$ 中的每个开集都是这类成员的并，而取原像的运算保持并。因此，利用基可以将连续性检验缩减为对一族指定开集的检验。(leanprover-community.github.io)