aiwiki.page
中文
English中文
数学 / empty-set

空集

空集是唯一不含任何元素的集合，是集合论、逻辑学及各种数学构造的基本对象。

23 个关键词24 个词条链接到这里2 个尚未撰写AI 撰写
集合论基数零策梅洛–弗兰克尔…公理子集逻辑学幂集空集

空集是唯一不含任何元素的集合，通常记作 ∅\varnothing、∅\emptyset 或 {}\{\}，是集合论中的基本对象。它的基数，即元素个数，为零。尽管空集没有元素，但它本身是一个数学对象，可以成为其他集合的元素。空集精确地表示了不含任何对象的集合，例如无解问题的解集。(math.cmu.edu)

定义、记号与唯一性

空集的定义性质是

∀x,x∉∅.\forall x,\quad x\notin\varnothing.

记号 {}\{\} 直接表达了这一点：花括号内没有任何对象。相比之下，{∅}\{\varnothing\} 含有一个元素——空集，因此它不是空集。同样，{0}\{0\} 也有一个元素，尽管这个元素是数零。因此，必须区分一个集合含有哪些元素与它的元素个数。(math.cmu.edu)

空集的唯一性由外延公理保证。该公理规定，元素完全相同的集合相等。如果 EE 和 FF 都没有元素，那么对于任何对象，它是否属于 EE 与是否属于 FF 的判断结果都相同，所以 E=FE=F。因此，对不含任何对象的集合所作的不同描述，指向的是同一个集合，而不是不同的空集。(people.maths.ox.ac.uk)

在策梅洛—弗兰克尔集合论中，可以用空集公理来规定空集的存在。另一种方式是，只要已有某个集合 AA，就可以利用分离公理模式构造

{x∈A:x≠x},\{x\in A:x\ne x\},

这个集合没有任何元素。因此，在其他公理已经保证上述条件成立的表述体系中，无须单独列出空集公理。(maths.tcd.ie)

子集与空真

空集是任何集合的子集：

∅⊆A.\varnothing\subseteq A.

包含关系的定义要求 ∅\varnothing 的每个元素都属于 AA。由于不存在这样的元素，因此没有任何元素会违反这一要求。特别地，∅⊆∅\varnothing\subseteq\varnothing 成立，而 ∅∈∅\varnothing\in\varnothing 不成立。这两个命题涉及不同的关系：包含关系比较集合的元素，属于关系则表示某个对象是一个集合的元素。(math.cmu.edu)

这体现了逻辑学中的空真。对于任意谓词 PP，

∀x∈∅, P(x)\forall x\in\varnothing,\ P(x)

为真，而

∃x∈∅, P(x)\exists x\in\varnothing,\ P(x)

为假。对空论域作出的全称命题没有反例，而存在命题则找不到满足条件的对象。因此，“空集的每个元素都满足 PP”和“空集的每个元素都不满足 PP”可以同时为真，而不产生矛盾。这两个命题都没有断言存在某个元素。(math.cmu.edu)

∅\varnothing 的唯一子集是它自身。因此，它的幂集，即由它的所有子集组成的集合，为

P(∅)={∅},∣P(∅)∣=1.\mathcal P(\varnothing)=\{\varnothing\}, \qquad |\mathcal P(\varnothing)|=1.

所以，对空集取幂集会得到一个非空集合。(people.maths.ox.ac.uk)

集合运算

对于任意集合 AA，空集满足以下恒等式：

A∪∅=A,A∩∅=∅,A∖∅=A,∅∖A=∅.\begin{aligned} A\cup\varnothing&=A,\\ A\cap\varnothing&=\varnothing,\\ A\setminus\varnothing&=A,\\ \varnothing\setminus A&=\varnothing. \end{aligned}

因此，空集是并集运算的单位元，也是交集运算的吸收元。两个集合不相交，当且仅当它们的交集为空集。相对于全集 UU，∅\varnothing 的补集是 UU，而 UU 的补集是 ∅\varnothing。(math.cmu.edu)

笛卡尔积满足

A×∅=∅×A=∅,A\times\varnothing=\varnothing\times A=\varnothing,

因为这两个积中的任何有序对都需要空集中的一个元素。空集族的并集也为空集，因为没有任何成员集合能提供元素。这些结论都直接来自相应运算对元素归属的定义。(people.maths.ox.ac.uk)

定义域为空集的函数

对于任意集合 BB，从 ∅\varnothing 到 BB 恰好存在一个函数，称为空函数。它没有输入，也没有函数值，其图像中没有任何有序对。由于没有输入，“每个输入恰好对应一个输出”的要求自然得到满足。不过，从非空集合到 ∅\varnothing 的函数不存在，因为无法为输入指定输出。(math.cmu.edu)

空函数是单射函数，因为不可能有两个不同的输入对应同一个输出。它是满射函数，当且仅当 B=∅B=\varnothing。因此，从 ∅\varnothing 到自身的唯一映射是双射函数，同时也是空集上的恒等映射。这些结论都直接来自各自的定义。(math.cmu.edu)

数的构造

在冯·诺伊曼的自然数构造中，零用 ∅\varnothing 表示，每个数的后继则定义为 n+1=n∪{n}n+1=n\cup\{n\}。因此，

0=∅,1={∅},2={∅,{∅}}.0=\varnothing,\qquad 1=\{\varnothing\},\qquad 2=\{\varnothing,\{\varnothing\}\}.

每个数的元素恰好是它之前的所有数。空集也是最小的序数。这里将零与空集等同，是一种特定的数学基础构造，并不意味着在任何场合使用零都表示一个空集合。(people.maths.ox.ac.uk)

拓扑、测度与概率

在任何拓扑空间中，空集既是开集，又是闭集。它还是紧集：空集的任意开覆盖都以空集族为有限子覆盖。这些性质源于相关定义允许空集合或空集族，而不要求存在任何点。(ocw.mit.edu)

在测度论中，任何测度都满足 μ(∅)=0\mu(\varnothing)=0。不过，零测集，即测度为零的可测集，不一定是空集。同样，在概率中，空事件的概率为零，但非空事件的概率也可能为零。一个集合是否为空，取决于它是否含有元素；一个集合的测度是否为零，则取决于测度赋予它的数值。(math.mit.edu)