在拓扑学中，拓扑空间 (X) 的子集 (A) 的闭包是 (X) 中包含 (A) 的最小闭集，通常记为 (\overline{A})、(\operatorname{cl}(A)) 或 (\operatorname{cl}_X(A))。闭包包含原集合，以及所有无法通过开邻域与原集合分离的点。所在空间及其拓扑至关重要：同一个集合在不同空间中可能有不同的闭包。(maths.ed.ac.uk)
定义与邻域刻画
形式上， [ \operatorname{cl}_X(A)
\bigcap{F\subseteq X: F\text{ 在 }X\text{ 中是闭集},\ A\subseteq F}. ] 这里取交集的集合族非空，因为它包含 (X)。闭集的任意交仍是闭集，因此上述表达式本身是闭集，也就确立了包含 (A) 的最小闭集的存在性。特别地，(A) 是闭集，当且仅当 (\operatorname{cl}_X(A)=A)。(sites.math.northwestern.edu)
另一种等价刻画使用邻域： [ x\in\operatorname{cl}_X(A) \quad\Longleftrightarrow\quad U\cap A\ne\varnothing \text{ 对 }x\text{ 的每个开邻域 }U\text{ 都成立}. ] 因此，(x) 不属于闭包，当且仅当存在一个包含 (x) 且与 (A) 不相交的开集。满足上述邻域条件的点称为 (A) 的附着点或闭包点。(maths.ed.ac.uk)
闭包点应与聚点区分；对于聚点，每个邻域都必须与 (A\setminus{x}) 相交。若用 (A') 表示聚点集，则 [ \overline{A}=A\cup A'. ] 因此，(A) 的孤立点虽然不是聚点，却仍属于其闭包。这些刻画都不要求空间是豪斯多夫空间。(sites.math.northwestern.edu)
闭包算子
闭包定义了一个从 (X) 的幂集到自身的映射。它的基本性质是库拉托夫斯基闭包公理： [ \begin{aligned} \operatorname{cl}(\varnothing)&=\varnothing,\ A&\subseteq\operatorname{cl}(A),\ \operatorname{cl}(\operatorname{cl}(A))&=\operatorname{cl}(A),\ \operatorname{cl}(A\cup B)&=\operatorname{cl}(A)\cup\operatorname{cl}(B). \end{aligned} ] 它们分别表达了保持空集、扩张性、幂等性以及保持有限并。反过来，任何作用于 (X) 的子集并满足这些公理的算子，都确定了唯一的拓扑：其中的闭集恰好是满足 (\operatorname{cl}(F)=F) 的子集 (F)，这些闭集的补集就是开集。(legacy-www.math.harvard.edu)
闭包还具有单调性：若 (A\subseteq B)，则 (\overline{A}\subseteq\overline{B})。不过，它不一定保持交集或无限并。例如，在具有通常拓扑的实数直线上，(A=(0,1)) 与 (B=(1,2)) 的交集为空，而它们的闭包在 (1) 处相交。同样，对所有正整数 (n)，闭单点集 ({1/n}) 的并不是闭集：其闭包还包含 (0)。这些例子说明，有限并公理不能推广到任意并。(fan.uni-wuppertal.de)
度量空间与收敛
在度量空间 ((X,d)) 中，邻域判据变为 [ x\in\overline{A} \quad\Longleftrightarrow\quad B(x,\varepsilon)\cap A\ne\varnothing \quad\text{ 对每个 }\varepsilon>0\text{ 都成立}, ] 其中 (B(x,\varepsilon)) 是一个开球。对于非空的 (A)，这等价于 [ d(x,A):=\inf_{a\in A}d(x,a)=0. ] 这个下确界不一定能取到：一个不属于 (A) 的点，与 (A) 的距离仍可能为零。(maths.ed.ac.uk)
在度量空间中，更一般地，在每个第一可数空间中，一个点属于 (\overline{A})，当且仅当它是 (A) 中某个点列的极限。在度量空间的情形下，可以选取 (a_n\in A\cap B(x,1/n))，于是 (a_n\to x)。对于已经属于 (A) 的点，取常值点列即可。(math.ucla.edu)
在任意拓扑空间中，点列的极限可能只能给出闭包的一部分。适用于一般情形的刻画使用网，即以有向集为指标的点列推广：(x\in\overline{A})，当且仅当存在一个取值于 (A) 的网收敛到 (x)。(fan.uni-wuppertal.de)
例子与对拓扑的依赖
在赋予通常拓扑的实数集上， [ \overline{(0,1)}=[0,1], \qquad \overline{\mathbb Q}=\mathbb R, \qquad \overline{\mathbb R\setminus\mathbb Q}=\mathbb R. ] 因此，有理数集和无理数集都是 (\mathbb R) 中的稠密集。一般来说，一个子集在 (X) 中稠密，当且仅当它的闭包是 (X)。(maths.ed.ac.uk)
在离散拓扑中，每个子集都是闭集，都等于自身的闭包。在平庸拓扑中，闭集只有 (\varnothing) 和 (X)，因此每个非空子集的闭包都是 (X)。这些情形表明，闭包描述的是拓扑意义上的接近，而不一定涉及数值距离。(math.mit.edu)
若 (A\subseteq Y\subseteq X)，且 (Y) 赋予子空间拓扑，则 [ \operatorname{cl}_Y(A)=Y\cap\operatorname{cl}_X(A). ] 例如，((0,1)) 在 (\mathbb R) 中的闭包是 ([0,1])，而在 (Y=(0,2)) 中的闭包是 ((0,1])。(maths.ed.ac.uk)
内部与连续映射
闭包与内部通过取补集互为对偶： [ \operatorname{cl}_X(A)
X\setminus\operatorname{int}_X(X\setminus A). ] 连续映射 (f:X\to Y) 对每个 (A\subseteq X) 都满足 [ f(\operatorname{cl}_X(A)) \subseteq \operatorname{cl}_Y(f(A)). ] 反过来，这一条件也刻画了连续性。这里不要求等号成立。例如，连续映射 (f(x)=e^x) 将闭集 (\mathbb R) 映到 ((0,\infty))，而后者在 (\mathbb R) 中的闭包还包含 (0)。(fan.uni-wuppertal.de)