半空间

半空间是实欧几里得空间被一个超平面划分后得到的两个区域之一，可以包含或不包含划分空间的超平面本身。包含边界的称为闭半空间；不包含边界的称为开半空间。半空间给出了线性不等式的几何解释，也是构成凸集的基本要素。(web.stanford.edu)

定义与几何意义

给定非零向量 $a\in\mathbb R^n$ 和标量 $b\in\mathbb R$，闭半空间定义为

其边界是超平面

这里，$a^{\mathsf T}x$ 是标准内积。向量 $a$ 垂直于 $P$，并从 $H_{\leq}$ 指向外侧，即 $a^{\mathsf T}x$ 增大的方向。将不等号反向，就会选取另一侧的半空间。(web.stanford.edu)

因此，“半”表示划分空间的超平面的一侧，而不是体积等于整个空间一半的有限区域。在 $\mathbb R^2$ 中，这一区域称为半平面；在 $\mathbb R^3$ 中，其边界是通常意义上的平面。将 $a$ 和 $b$ 同时乘以一个正标量，所得不等式与原不等式等价。(web.stanford.edu)

开半空间与闭半空间

严格不等式

定义了一个开集，而 $H_{\leq}$ 是一个闭集。二者的边界都是 $P$；$H_{\leq}$ 的内部是 $H_<$，而 $H_<$ 的闭包是 $H_{\leq}$。在实希尔伯特空间中，将 $a^{\mathsf T}x$ 替换为 $\langle a,x\rangle$，这些描述也同样成立。(arxiv.org)

位于相对两侧的两个开半空间互不相交。位于相对两侧的两个闭半空间的交集恰好是它们的边界超平面。因此，

(stanford.edu)

凸性

每个半空间都是凸的。例如，若 $x,y\in H_{\leq}$ 且 $0\leq t\leq1$，则

因此，半空间内任意两点的任何凸组合仍在该半空间内。同样的论证也适用于严格不等式。(courses.csail.mit.edu)

交集与优化

多面体是有限个闭半空间的交集。使用矩阵 $A$，可以将其写为

其中，不等式按各分量分别理解。等式约束可以用一对方向相反的不等式表示。这类交集可能有界、无界、维数低于所在空间，或为空集；由于取交集保持凸性，它们都是凸的。(stanford.edu)

在线性规划中，这些交集描述了可行集。半空间也可以用来表述分离关系：一个超平面可以将闭凸集置于一侧，并将该集合外的一个点严格置于另一侧。这就把线性不等式与证明不可行性的几何依据联系起来。(courses.csail.mit.edu)

距离与投影

对于 $H_{\leq}=\{x:a^{\mathsf T}x\leq b\}$，点 $z$ 到该半空间的距离为

其最近点投影为

已经位于半空间内的点保持不变；外部的点则沿垂直于边界的方向移动到边界上。该公式可推广到实希尔伯特空间，并可用于求解不等式组的投影算法。(arxiv.org)

非退化性

条件 $a\ne0$ 必不可少。如果 $a=0$，那么不等式 $a^{\mathsf T}x\leq b$ 在 $b\geq0$ 时表示整个空间，在 $b<0$ 时表示空集；这两种情形都不存在划分空间的超平面。此外，还应区分半空间与其边界：半空间是满维的，而超平面的维数为 $n-1$。(web.stanford.edu)

参考来源

1. Convex Optimizationstanford.edu
2. Convex Optimization — Lecture Slidesweb.stanford.edu
3. Linear Programming Lecture Notescourses.csail.mit.edu
4. Projecting onto intersections of halfspaces and hyperplanesarxiv.org