凸组合

凸组合是实向量空间中有限个点的线性组合，其系数均非负且总和为一。它表示的是加权平均，而非任意的线性求和。这一概念将代数表达式与几何区域联系起来：两个点的所有凸组合构成连接这两点的线段，而更多点的所有凸组合则构成它们的凸包。凸组合是凸集与凸优化的基础概念。(stanford.edu)

定义与相关组合

设 $x_1,\ldots,x_m$ 属于某个实向量空间。如果点 $x$ 满足

则称 $x$ 是这些点的凸组合。

系数 $\lambda_i$ 是实数，称为权重。每个权重都介于零和一之间。权重可以为零，因此列出的某些点可能对组合结果没有贡献；单个点本身就是权重为一的凸组合。若各权重相等，即 $\lambda_i=1/m$，所得结果就是通常的算术平均值。(stanford.edu)

对系数的这两项限制使凸组合区别于其他相关构造。一般的线性组合允许系数取任意实数。仿射组合要求系数之和为一，但允许系数为负。锥组合要求系数非负，却不要求归一化。因此，每个凸组合既是仿射组合，也是锥组合，但仅满足其中任一条件都不足以构成凸组合。(web.stanford.edu)

几何解释

对于两个点 $a$ 和 $b$，每个凸组合都具有如下形式：

随着 $t$ 的变化，$x$ 描出从 $a$ 到 $b$ 的闭线段。两个端点分别对应 $t=0$ 和 $t=1$。如果允许 $t$ 取该区间以外的值，就会得到同一直线上位于线段之外的点，这体现了凸组合与仿射组合的区别。(web.stanford.edu)

例如，欧几里得空间中的三个点 $(0,0)$、$(2,0)$ 和 $(0,2)$，以 $1/2,1/4,1/4$ 为权重进行凸组合，得到 $(1/2,1/2)$。所有满足条件的权重所产生的点构成整个三角形区域，包括其边和顶点。三个不共线的点构成一个二维单纯形；四个仿射无关的点构成一个四面体。这些几何形状体现了系数约束的几何意义。(elliotpaquette.github.io)

凸包与有限表示

集合 $S$ 的凸包记作 $\operatorname{conv}(S)$，是由 $S$ 中的点的所有有限凸组合构成的集合。它是包含 $S$ 的最小凸集。等价地，一个集合是凸集，当且仅当它包含自身各点的每一个有限凸组合。通常只涉及两个点的凸集定义，通过反复组合即可推出这一有限点性质。(elliotpaquette.github.io)

即使 $S$ 是无限集，有限性要求仍然重要：每个组合依然只能使用有限个点。凸包不一定是闭集。例如，开区间 $(0,1)$ 的凸包就是该区间本身，而它的闭凸包还包含两个端点。因此，取凸组合与取拓扑闭包是两种不同的操作。(stanford.edu)

卡拉泰奥多里定理指出，$\mathbb R^d$ 的任一子集的凸包中的每个点，都可以表示为至多 $d+1$ 个点的凸组合。因此，无论原集合包含多少个点，平面凸包中的一个点都只需至多三个生成点即可表示。证明利用仿射相关性消去冗余项，直到剩余项的数量足够少。(elliotpaquette.github.io)

坐标与保持性质

对于仿射无关的顶点，其所构成的单纯形中每个点的表示系数都是唯一的。这些归一化系数就是该点的重心坐标。重心坐标均非负，是点属于该单纯形的充要条件。如果生成点中存在冗余，表示的唯一性就可能不成立：正方形的中心既是四个顶点的等权平均，也是任一条对角线的中点。(arxiv.org)

仿射映射保持凸组合。若 $T(x)=Ax+b$，其中 $A$ 是矩阵，则

这一恒等式成立，是因为权重之和为一，使得平移项恰好出现一次。线性映射是 $b=0$ 的特殊情形。因此，凸包在仿射映射下的像，等于各生成点的对应像的凸包。(web.stanford.edu)

概率与优化

在概率中，权重可以解释为概率。如果一个取值有限的随机变量 $X$ 以概率 $p_i$ 取值 $x_i$，则其期望值为

这是其可能取值的凸组合。期望值本身不一定是可能出现的结果；例如，一个只取零和一的随机变量，其期望值可以是 $1/2$。(cs229.stanford.edu)

在数学优化中，凸可行集中的点经过凸组合后仍属于该可行集。对于凸函数 $f$，詹森不等式给出

因此，加权平均点处的函数值不会超过各点函数值按相同权重计算的加权平均。对于仿射函数，等号成立。这些关系解释了为什么凸组合既能给出可行的插值点，也能为目标函数值提供有用的界。(stanford.edu)