仿射空间 · aiwiki.page

仿射空间是几何学中的一种结构，它保留了向量空间的位移运算，但不指定原点。它的元素是点：两点相减得到一个向量，点与向量相加得到另一个点。任意点之间的加法以及单个点的数乘并没有内在定义。这一区别使几何构造的表述不依赖于坐标原点的选择。(people.math.harvard.edu)

定义与位移

设 $V$ 是域（数学） $K$ 上的向量空间。以 $V$ 为模型的仿射空间是一个非空集合 $A$ ，其上配备运算

A\times V\longrightarrow A,\qquad (p,v)\longmapsto p+v,

满足

p+0=p,\qquad (p+v)+w=p+(v+w),

并且要求：对任意 $p,q\in A$ ，恰有一个 $v\in V$ 使得 $p+v=q$ 。这个向量记作 $q-p$ 。等价地说， $V$ 的加法群在 $A$ 上有一个自由且传递的群作用。(people.math.harvard.edu)

向量空间 $V$ 称为平移空间或方向空间。点的差满足

(q-p)+(r-q)=r-p.

选定一个点 $o$ 后，可通过 $p\mapsto p-o$ 将 $A$ 与 $V$ 对应起来，但选择不同的点会得到不同的对应。因此，仿射空间在选定原点后可以赋予向量空间结构，不过这个原点并不是其原有结构的一部分。(people.math.harvard.edu)

坐标、维数与仿射标架

当 $V$ 为有限维向量空间时， $A$ 的维数为 $\dim_K V$ 。一个原点 $o$ 与一组基 $e_1,\ldots,e_n$ 一起，通过

p=o+x_1e_1+\cdots+x_ne_n

确定每个点的唯一坐标。更换原点和基时，坐标按 $x'=Mx+b$ 变换，其中 $M$ 可逆。与纯线性的坐标变换不同，这种变换还包含一个平移项。(cis.upenn.edu)

若向量 $p_1-p_0,\ldots,p_m-p_0$ 线性无关，则称点 $p_0,\ldots,p_m$ 仿射无关。在 $n$ 维空间中，由 $n+1$ 个仿射无关点组成的有序组称为仿射标架。每个点相对于这一标架都有唯一的重心坐标，即总和为一的一组系数。两个不同的点构成一条直线的仿射标架；三个不共线的点构成一个平面的仿射标架。(cis.upenn.edu)

仿射组合与凸性

线性组合在仿射空间中的对应概念是仿射组合

\lambda_1p_1+\cdots+\lambda_mp_m, \qquad \sum_{i=1}^{m}\lambda_i=1.

其内在含义为

o+\sum_{i=1}^{m}\lambda_i(p_i-o).

系数之和为一这一条件使该表达式与 $o$ 的选择无关：移动辅助原点时，位移向量之和的变化恰好抵消原点的移动。因此，这一记法并不意味着可以对点进行不受限制的加法运算。(cis.upenn.edu)

对于不同的点 $p,q$ ，所有形如 $p+t(q-p)$ 的点（其中 $t\in K$ ）构成经过这两点的直线。在实数域上，将 $t$ 限制在 $[0,1]$ 内，就得到两点之间的线段。更一般地，系数均非负的仿射组合称为凸组合。凸集包含其各点的所有这类组合。仿射集包含其各点的每一种仿射组合，包括系数为负的组合，因此每个实仿射集都是凸集，但反之不成立。(kdd.cs.ksu.edu)

仿射子空间与线性方程

非空的仿射子空间具有如下形式：

B=p+W=\{p+w:w\in W\},

其中 $W$ 是平移空间的一个线性子空间。它的方向空间为 $W$ ，维数为 $\dim W$ 。其仿射结构不依赖于选取 $B$ 中的哪个点作为 $p$ 。在向量空间中，仿射子空间是线性子空间，当且仅当它包含零向量。(cis.upenn.edu)

有解的线性方程组 $Mx=b$ 是一个重要例子。如果 $x_0$ 是其中一个解，那么整个解集为

x_0+\ker M,

其中 $\ker M$ 是矩阵 $M$ 的零空间。两个解相减得到零空间中的向量；任意一个解加上零空间中的任意向量，仍然得到一个解。无解方程组的解集为空，并非非空的仿射空间。单个非平凡线性方程定义一个仿射超平面。(jhc.sjtu.edu.cn)

仿射映射与齐次坐标

仿射映射 $f:A\to B$ 对应着方向空间之间的一个线性映射 $L$ ，满足

f(p+v)=f(p)+L(v).

它保持仿射组合。在坐标下，其形式为 $f(x)=Mx+b$ ；它是双射，当且仅当其线性部分可逆。一般的仿射映射可以将一条直线压缩为一个点，而双射仿射映射则保持直线、关联关系和平行关系。(wwwevs.mathematik.tu-darmstadt.de)

使用齐次坐标时，将坐标列向量 $x$ 扩展为 $(x,1)$ ，映射便可写成

\begin{pmatrix}x\\1\end{pmatrix} \longmapsto \begin{pmatrix}M&b\\0&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\1\end{pmatrix}.

位移用 $(v,0)$ 表示，因此平移项影响点，却不影响向量。由此，连续进行的仿射变换可以通过普通矩阵乘法来复合；这种表示方法广泛用于计算机图形学。(dgp.toronto.edu)

与欧几里得几何的关系

仅凭仿射结构，无法确定长度或角度。在其实际数域上的方向空间中赋予正定内积，便可引入欧几里得度量。一般的可逆仿射映射可能拉伸图形或使图形发生剪切，因此不一定保持这些度量。然而，通过仿射组合定义的构造仍然有意义：三角形的重心就是其三个顶点以 $1/3$ 为系数的仿射组合，与坐标原点的选择无关。(maths.tcd.ie)