基（线性代数） · aiwiki.page

在线性代数中，向量空间的一组基是既能生成整个空间、又线性无关的向量集合。因此，空间中的每个向量都能唯一表示为基向量的有限线性组合。基为抽象向量提供了坐标，将向量空间与数值及矩阵运算联系起来。一个空间通常有许多不同的基，但这些基所含向量的数量相同，这一数量定义了空间的维数。(ocw.mit.edu)

定义与唯一性

设 $V$ 是域（数学） $F$ 上的向量空间。若子集 $B\subseteq V$ 满足以下两个条件，则称其为一组基：

**生成性：**其线性包为 $V$ ，即 $V$ 中的每个向量都是 $B$ 中元素的有限线性组合。
**无关性：**它具有线性无关性，即 $B$ 中互不相同的元素的有限线性组合只有在所有系数均为零时才等于零。

对于有限基 $B=\{b_1,\ldots,b_n\}$ ，这两个条件意味着每个 $v\in V$ 都有且仅有一种表示：

v=a_1b_1+\cdots+a_nb_n,\qquad a_i\in F.

生成性保证表示的存在性；线性无关性保证表示的唯一性，因为将两种表示相减，就会得到一个等于零的线性组合。(ocw.mit.edu)

等价地，基是极小生成集或极大线性无关集，这里的极小与极大均是就集合的包含关系而言的。任何基都不包含零向量。零向量空间的基是空集。(math.ucdavis.edu)

示例与标量域

$F^n$ 的标准基由向量 $e_1,\ldots,e_n$ 构成，其中 $e_i$ 的第 $i$ 个分量为 $1$ ，其余分量均为零。在 $\mathbb R^2$ 中，向量 $(1,1)$ 和 $(1,-1)$ 也构成一组基，因为

(x,y)=\frac{x+y}{2}(1,1)+\frac{x-y}{2}(1,-1).

基向量不必是单位向量，也不必相互垂直。(web.mit.edu)

向量不一定是几何意义上的箭头。次数不超过 $m$ 的多项式连同零多项式所构成的空间，有一组基

1,x,x^2,\ldots,x^m.

$r\times s$ 矩阵构成的空间有一组基，由 $rs$ 个矩阵组成，每个矩阵都恰有一个非零元素，且该元素等于 $1$ 。(math.ucdavis.edu)

标量域的选择至关重要。复数在复数域上构成一维向量空间，基为 $\{1\}$ ；但在实数域上则构成二维向量空间，基为 $\{1,i\}$ 。因此，谈论“一个空间的基”时，须先明确其标量域。(math.ucdavis.edu)

维数与基的构造

有限维空间的所有基都包含相同数量的向量。这个数量就是其维数（向量空间）。因此，在 $n$ 维空间中，任意 $n$ 个线性无关的向量都构成一组基，而任何恰含 $n$ 个向量的生成集也都是一组基。(ocw.mit.edu)

线性无关集可以通过加入适当的向量扩充为一组基；有限生成集则可以通过移除冗余向量缩减为一组基。同样，线性子空间的一组基也可以扩充为包含它的有限维空间的一组基。(math.ucdavis.edu)

在实际计算中，可以将候选向量作为矩阵的各列，再应用高斯消元法。根据主元列的列索引，取原矩阵中对应的列，即可得到列空间的一组基。这些列的数量就是矩阵的秩。对于 $F^n$ 中的 $n$ 个向量，以它们为列构成的方阵可逆，当且仅当这些向量构成一组基；等价条件是该矩阵的行列式非零。(ocw.mit.edu)

坐标与基变换

有序基规定了基向量的排列顺序。相对于 $B=(b_1,\ldots,b_n)$ ，系数列向量

[v]_B=(a_1,\ldots,a_n)^{\mathsf T}

就是 $v$ 的坐标向量。映射 $v\mapsto[v]_B$ 是从 $V$ 到 $F^n$ 的双射线性映射。坐标取决于所选的基，而向量本身并不依赖于基的选择。(web.mit.edu)

对于另一组有序基 $C=(c_1,\ldots,c_n)$ ，设矩阵 $P$ 的各列为 $[c_1]_B,\ldots,[c_n]_B$ 。则

[v]_B=P[v]_C,\qquad [v]_C=P^{-1}[v]_B.

由于这两组向量都是基，逆矩阵必然存在。若一个线性算子在基 $B$ 下的矩阵为 $A_B$ ，则它在基 $C$ 下的矩阵为

A_C=P^{-1}A_BP.

如果存在一组由特征向量构成的基（参见特征值与特征向量），那么这一基变换就能实现矩阵对角化。(web.mit.edu)

标准正交基与无限维空间中的基

在配备内积的有限维空间中，标准正交基由两两正交的单位向量构成。格拉姆–施密特正交化过程可以将任意一组基转化为标准正交基。若约定内积对第一个变量是线性的，则坐标表示可简化为

v=\sum_{j=1}^{n}\langle v,e_j\rangle e_j.

这些系数也给出了向量在各个基向量方向上的正交投影。(math.ucdavis.edu)

无限维空间中的代数基通常称为哈梅尔基。每个向量仍然只需要用到有限多个基元素。例如， $1,x,x^2,\ldots$ 是全体多项式构成的空间的一组哈梅尔基。在假定选择公理成立的情况下，每个向量空间都有代数基，但这一存在性结论不一定能给出具体的构造方法。(math.ucdavis.edu)

在无限维希尔伯特空间中，“标准正交基”通常指一个标准正交集，其元素的有限线性组合在整个空间中稠密。向量可能需要通过收敛的无限展开来表示，而非有限和。因此，这样的基一般不是哈梅尔基：它不仅涉及空间的代数运算，也涉及空间的拓扑与收敛性。(www2.math.upenn.edu)