矩阵的迹 · aiwiki.page

矩阵的迹是将方阵的主对角线元素相加得到的标量。这里的方阵是一种行数与列数相等的矩阵。迹通常记作 $\operatorname{tr}(A)$ 或 $\operatorname{Tr}(A)$ ，是线性代数中的一项基本运算。尽管迹是通过矩阵元素定义的，但它不随基的改变而改变，并且等于矩阵的所有特征值按代数重数计算后的总和。因此，迹描述的是矩阵所表示的线性算子的内在性质，而不仅仅是其坐标表示的性质。(learning.quantum.ibm.com)

定义与基本性质

对于一个 $n\times n$ 矩阵 $A=(a_{ij})$ ，

\operatorname{tr}(A)=\sum_{i=1}^{n}a_{ii}.

例如，

A=\begin{pmatrix}2&7\\-1&3\end{pmatrix} \quad\Longrightarrow\quad \operatorname{tr}(A)=2+3=5.

只有主对角线元素直接参与求和。这个定义适用于实数、复数以及更一般的域（数学）上的矩阵。(online.stat.psu.edu)

迹具有线性性：对于同型矩阵 $A,B$ 和标量 $\alpha,\beta$ ，

\operatorname{tr}(\alpha A+\beta B) =\alpha\operatorname{tr}(A)+\beta\operatorname{tr}(B).

因此，迹是定义在方阵构成的向量空间上的标量值线性映射。单位矩阵 $I_n$ 的迹为 $n$ ，零矩阵的迹为零。矩阵转置不改变迹：

\operatorname{tr}(A^{\mathsf T})=\operatorname{tr}(A).

这些恒等式都可以直接通过对主对角线元素求和得到。(learning.quantum.ibm.com)

循环性与基无关性

一个特别有用的恒等式是

\operatorname{tr}(AB)=\operatorname{tr}(BA).

即使 $A$ 为 $m\times n$ 矩阵、 $B$ 为 $n\times m$ 矩阵，这个恒等式仍然成立，因此两个乘积不必具有相同的大小。展开主对角线元素之和，即可直接证明：

\operatorname{tr}(AB) =\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}b_{ji} =\operatorname{tr}(BA).

更一般地，只要各因子的维数相容，就可以循环移动因子：

\operatorname{tr}(ABC) =\operatorname{tr}(BCA) =\operatorname{tr}(CAB).

但这并不意味着可以任意改变因子的顺序；一般而言， $\operatorname{tr}(ABC)\ne\operatorname{tr}(ACB)$ 。(ericdarve.github.io)

对于任意可逆矩阵 $S$ ，由循环性可得

\operatorname{tr}(S^{-1}AS) =\operatorname{tr}(ASS^{-1}) =\operatorname{tr}(A).

矩阵 $A$ 与 $S^{-1}AS$ 是同一个线性变换在不同基（线性代数）下的表示。因此，有限维空间上算子的迹可以通过它的任意矩阵表示来定义。正是这种基无关性，使迹在不依赖坐标的表述中发挥重要作用。(ericdarve.github.io)

特征值与特征多项式

设 $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ 是一个复方阵的特征值，每个特征值按其代数重数重复计入，则

\operatorname{tr}(A)=\lambda_1+\cdots+\lambda_n.

对于实矩阵，也必须将非实特征值计入。行列式是这些特征值的乘积，而迹则是它们的和。当矩阵的阶数大于二时，这两个量中的任何一个都不能单独确定全部特征值。(math.mit.edu)

上述恒等式不要求矩阵能够进行矩阵对角化。采用约定

p_A(t)=\det(tI-A),

则特征多项式的前几项为

p_A(t)=t^n-\operatorname{tr}(A)t^{n-1}+\cdots.

将它在复数域上分解为一次因子的乘积，就可以看出 $t^{n-1}$ 的系数是所有根之和的相反数。对于 $2\times2$ 矩阵，由此得到完整公式

p_A(t)=t^2-\operatorname{tr}(A)t+\det(A).

因此，迹与行列式共同确定了两个特征值及其重数。(math.mit.edu)

内积与微分

对于同型实矩阵 $A,B$ ，

\langle A,B\rangle_F =\operatorname{tr}(A^{\mathsf T}B) =\sum_{i,j}a_{ij}b_{ij}.

这就是弗罗贝尼乌斯内积，其对应范数的平方为

\|A\|_F^2=\operatorname{tr}(A^{\mathsf T}A).

对于复矩阵，将转置替换为共轭转置 $A^*$ ，即可得到 $\operatorname{tr}(A^*B)$ 。因此，迹可以将逐元素求和写成简洁的矩阵表达式。(math.uwaterloo.ca)

在数学优化中，这种记法也能简化求导。对于实矩阵变量 $X$ ，采用逐元素定义梯度的约定，有

\nabla_X\operatorname{tr}(C^{\mathsf T}X)=C, \qquad \nabla_X\operatorname{tr}(X^{\mathsf T}X)=2X.

第二个恒等式是对矩阵误差平方项和二次惩罚项求导的基础。(math.uwaterloo.ca)

统计学与量子力学中的应用

对于协方差矩阵为 $\Sigma$ 的实随机向量， $\Sigma$ 的迹等于各分量的方差之和。若其均值为 $\mu$ ，且二阶矩有限，则

\mathbb E\!\left[\|X-\mu\|^2\right] =\operatorname{tr}(\Sigma).

更一般地，对于固定的实对称矩阵 $A$ ，

\mathbb E[X^{\mathsf T}AX] =\operatorname{tr}(A\Sigma)+\mu^{\mathsf T}A\mu.

这些公式将迹与二次表达式的期望值联系起来，而不要求随机向量服从正态分布。(math.uwaterloo.ca)

在有限维量子力学中，密度矩阵 $\rho$ 是半正定矩阵，并满足归一化条件 $\operatorname{tr}(\rho)=1$ 。对于用 $O$ 表示的可观测量，其期望值为 $\operatorname{tr}(\rho O)$ 。与迹相关的偏迹运算会从复合系统的描述中消去一个子系统，得到剩余子系统的密度矩阵，而不是一个标量。(learning.quantum.ibm.com)

计算与估计

如果可以直接获取主对角线元素，计算迹只需将这些元素相加：对于 $n\times n$ 矩阵，需要 $n-1$ 次加法。因此，没有必要仅为求迹而计算特征值。这一运算次数可以直接由定义得出。(online.stat.psu.edu)

对于主要通过矩阵与向量的乘积来访问的大型矩阵，随机估计提供了另一种方法。若实随机向量 $z$ 满足 $\mathbb E[zz^{\mathsf T}]=I$ ，则

\mathbb E[z^{\mathsf T}Az]=\operatorname{tr}(A).

对多次独立计算的结果取平均，就能得到迹的无偏估计。哈钦森型方法利用这样的二次型，避免显式构造矩阵，包括科学计算中出现的大型导数矩阵。(arxiv.org)