向量空间是一种数学结构，其元素称为向量，可以相加，也可以与指定域中的标量相乘。这些运算遵循的规则推广了我们熟悉的箭头和坐标列表的运算。向量不必是几何对象：函数、多项式和矩阵也可以构成向量空间。这一概念为线性代数提供了基本框架，使同一套方法能够用于描述多种不同的数学对象。(math.brown.edu)
定义与公理
域 (F) 上的向量空间由集合 (V)、加法运算 (V\times V\to V) 和标量乘法 (F\times V\to V) 构成。常见的标量域有实数域 (\mathbb R) 和复数域 (\mathbb C)。这些运算具有封闭性：两个向量相加，或向量与标量相乘，所得结果始终是 (V) 中的元素。(math.brown.edu)
对于任意 (u,v,w\in V) 和 (a,b\in F)，以下公理成立：
- 加法交换律： (u+v=v+u)。
- 加法结合律： ((u+v)+w=u+(v+w))。
- 加法单位元： 存在零向量 (0_V)，满足 (v+0_V=v)。
- 加法逆元： 每个 (v) 都有一个元素 (-v)，满足 (v+(-v)=0_V)。
- 标量乘法的相容性： (a(bv)=(ab)v)。
- 标量乘法单位元： (1v=v)。
- 对向量加法的分配律： (a(u+v)=au+av)。
- 对标量加法的分配律： ((a+b)v=av+bv)。
这些规则区分了向量加法与标量乘法；向量空间并不要求定义两个向量之间的乘法。(math.mit.edu)
示例与标量的作用
坐标空间 (F^n) 由 (n) 个标量组成的有序列表构成。加法和标量乘法都按分量进行。例如，在 (\mathbb R^2) 中， [ (1,2)+(3,-1)=(4,1),\qquad 2(1,2)=(2,4). ] 仅包含零向量的空间也是向量空间。(math.brown.edu)
域 (F) 上所有 (m\times n) 矩阵组成的集合，在逐项相加和标量乘法下构成向量空间。次数不超过 (d) 的多项式，连同零多项式，也构成一个向量空间。更一般地，从某个固定集合到 (F) 的所有函数，在逐点运算下构成向量空间。这些例子表明，“向量”描述的是一种代数角色，而非某种特定形状或记法。(linear.axler.net)
标量域是这一结构的组成部分，而非无关紧要的选择。复数在 (\mathbb C) 上构成一维空间，基为 (1)；但在 (\mathbb R) 上构成二维空间，基为 (1,i)。(linear.axler.net)
线性组合、基与维数
向量 (v_1,\ldots,v_k) 的线性组合是形如 [ a_1v_1+\cdots+a_kv_k,\qquad a_j\in F ] 的表达式。一个向量集合的线性张成空间是其所有有限线性组合组成的集合。如果一个线性组合只有在所有系数均为零时才等于零向量，那么这些向量就是线性无关的。否则，它们就是线性相关的。(ocw.mit.edu)
基是一个线性无关且能张成整个空间的向量集合。每个向量都能唯一地表示为基向量的有限线性组合。对于有限有序基 (b_1,\ldots,b_n)， [ v=x_1b_1+\cdots+x_nb_n. ] 这些系数组成了 (v) 相对于该基的坐标列表。更换基会改变坐标，但不会改变向量本身。(linear.axler.net)
有限维空间的维数是其任意一组基中向量的个数；它的所有基都具有相同的大小。因此，(F^n) 的维数为 (n)。如果不存在能够张成整个空间的有限向量集合，该空间就是无限维的。所有多项式组成的空间便是一个例子：任意高次幂不可能由有限个多项式生成。(ocw.mit.edu)
子空间与线性映射
线性子空间是一个子集，在沿用原空间运算的情况下，它本身也是向量空间。它必须包含零向量，并且对加法和标量乘法封闭。经过原点的直线和平面是常见的例子。平移后不含原点的平面则是仿射子集。齐次方程组 (Ax=0) 的解构成子空间；如果 (Ax=b) 有一个解 (x_0)，则它的解集为 (x_0+\ker A)。(ocw.mit.edu)
同一域上两个空间之间的线性映射 (T:V\to W) 保持线性组合： [ T(au+bv)=aT(u)+bT(v). ] 它的核由映射到零向量的向量组成，像则由所有能够取得的输出组成。核与像都是子空间。当 (V) 为有限维空间时，秩—零度定理指出 [ \dim V=\dim\ker T+\dim\operatorname{im}T. ] 选定基后，有限维空间之间的线性映射可以用矩阵表示。双射的线性映射称为同构；域 (F) 上的每个 (n) 维空间都与 (F^n) 同构。(linear.axler.net)
附加结构与构造
仅凭向量空间公理，既不能定义长度，也不能定义角度。内积提供了用于定义正交性的附加结构，并诱导出一个范数。赋范向量空间具有指定的长度概念，而希尔伯特空间则是在其内积诱导的范数下完备的内积空间。相容的拓扑学结构使我们能够在研究代数运算的同时，研究收敛性与连续性。(math.brown.edu)
对偶空间 (V^*) 由从 (V) 到其标量域的线性映射组成。商空间 (V/U) 将差属于子空间 (U) 的向量视为等价。张量积为多重线性映射提供了向量空间框架，将线性性推广到多个自变量。这些构造在保留向量空间公理的同时，为泛函、等价类和多重线性关系提供了组织方式。(math.mit.edu)