赋范向量空间

赋范向量空间是配备了范数的向量空间；范数是为每个向量赋予非负大小、并与加法及标量乘法相容的函数。其标量通常取自实数或复数。范数给出了距离，从而使收敛性和连续性能够与代数运算一同加以讨论。赋范空间是泛函分析的基本研究对象，既包括有限维坐标空间，也包括由函数或序列构成的无限维空间。(ocw.mit.edu)

定义与基本性质

设 $V$ 是域 $\mathbb F=\mathbb R$ 或 $\mathbb C$ 上的向量空间。范数是一个函数

对任意 $x,y\in V$ 和标量 $\alpha$，它满足：

1. 正定性： $\|x\|=0$ 当且仅当 $x=0$。
2. 绝对齐次性： $\|\alpha x\|=|\alpha|\|x\|$。
3. 三角不等式： $\|x+y\|\leq\|x\|+\|y\|$。

赋范空间由二元组 $(V,\|\cdot\|)$ 确定，而不只是由底层向量空间确定。上述公理蕴含反三角不等式：

如果放宽正定性要求，允许非零向量的大小为零，那么这样的函数称为半范数。将半范数为零的向量所构成的子空间商去，就得到一个赋范空间。(live.ocw.mit.edu)

度量与拓扑

每个范数都通过

定义一个度量，使该空间成为度量空间。这一度量具有平移不变性，并满足 $d(\alpha x,\alpha y)=|\alpha|d(x,y)$。其开球

生成范数拓扑：一个子集是开集，当且仅当其中每一点都位于某个完全包含在该子集中的开球内。(maths.ox.ac.uk)

当 $\|x_n-x\|\to0$ 时，称序列 $x_n$ 依范数收敛于 $x$。向量加法和标量乘法在这一拓扑下都是连续的。反三角不等式还表明，范数本身是一个连续的实值函数，而且满足 Lipschitz 常数为 1 的条件。这些事实保证了取极限与向量空间运算相容。(people.math.harvard.edu)

常见例子

在 $\mathbb F^n$ 上，常见的范数包括

第二个范数诱导欧几里得距离。这些范数以不同方式衡量同一个向量；在 $\mathbb R^2$ 中，它们的单位球依次为菱形、圆盘，以及边与坐标轴平行的正方形。更一般地，当 $1\leq p<\infty$ 时，$(\sum_j|x_j|^p)^{1/p}$ 是一个范数。(maths.ox.ac.uk)

重要的无限维例子包括：

• 序列空间： $\ell^p$ 由满足 $\sum_j|x_j|^p<\infty$ 的序列 $x=(x_j)$ 构成，配备与上式类似的 $p$-范数。空间 $\ell^\infty$ 由有界序列构成，配备上确界范数。
• 连续函数： $C([a,b])$ 是紧区间上的标量值连续函数所构成的空间，其范数为 $\|f\|_\infty=\max_{t\in[a,b]}|f(t)|$。
• 可积函数： Lp空间在 $1\leq p<\infty$ 时使用范数 $\|f\|_p=(\int|f|^p\,d\mu)^{1/p}$。其元素是按几乎处处相等这一关系划分的函数等价类，这样便保证了正定性成立。(ocw.mit.edu)

完备性与巴拿赫空间

如果赋范空间中的每个柯西序列都收敛于该空间中的某个元素，就称该空间是完备的。完备的赋范空间称为巴拿赫空间。完备性是一项额外条件，并不能由范数公理推出。配备上述范数的空间 $\ell^p$、$L^p$ 和 $C([a,b])$ 都是巴拿赫空间。(ocw.mit.edu)

作为不完备的例子，可以考虑配备 $\ell^2$ 范数的有限支撑序列空间。对序列 $(2^{-j})_{j\geq1}$ 逐次截断，所得序列构成一个柯西序列，但其极限并非有限支撑序列。每个赋范空间都存在完备化：即一个巴拿赫空间，其中包含原空间的一个等距副本，且该副本是稠密子空间。在保持所嵌入的原空间不变的等距线性同构意义下，这一完备化是唯一的。(ocw.mit.edu)

等价范数与维数

如果存在常数 $c,C>0$，使得

则称 $V$ 上的两个范数等价。等价范数诱导相同的拓扑，具有相同的收敛序列和柯西序列，因此也保持完备性不变。在维数有限的空间上，任意两个范数都等价，而且每个有限维赋范空间都是完备的。(people.math.harvard.edu)

这些性质在无限维情形下一般不再成立。在有限支撑序列空间上，$\|\cdot\|_1$ 和 $\|\cdot\|_\infty$ 并不等价：一个有 $n$ 个分量等于 1、其余分量为零的向量，在这两个范数下的值分别为 $n$ 和 $1$。有限维与无限维之间的另一项区别涉及紧性：赋范空间的闭单位球在范数拓扑下是紧的，当且仅当该空间是有限维的。(maths.ox.ac.uk)

线性算子、子空间与商空间

赋范空间之间的线性映射 $T:V\to W$ 连续，当且仅当它有界，即存在某个 $M\geq0$，使得

其算子范数为

只要 $W$ 是巴拿赫空间，有界线性映射所构成的空间就是巴拿赫空间。特别地，由有界线性泛函 $V\to\mathbb F$ 构成的连续对偶空间总是巴拿赫空间，即使 $V$ 本身并不完备。(ocw.mit.edu)

每个线性子空间都继承所在空间的范数。巴拿赫空间的子空间完备，当且仅当它是闭的。对于闭子空间 $Y\subseteq V$，商向量空间配备范数

如果 $V$ 是巴拿赫空间，那么这个商空间也是巴拿赫空间。(live.ocw.mit.edu)

与内积空间的关系

内积通过 $\|x\|=\sqrt{\langle x,x\rangle}$ 诱导范数，但并非每个范数都来自内积。判断范数是否由内积诱导的充要条件是平行四边形恒等式：

当这一恒等式成立时，可以通过极化恒等式恢复唯一的、诱导该范数的内积。完备的内积空间称为希尔伯特空间，因此它也是具有这一额外几何结构的巴拿赫空间。(maths.ox.ac.uk)