开球

度量空间中的开球，是到给定中心的距离严格小于某个指定正半径的所有点组成的集合。它是实数轴上的开区间以及欧几里得空间中圆盘或实心球内部的推广。开球将距离与拓扑学联系起来：它们是构造度量所诱导的拓扑的基本集合。开球的形状取决于度量，而不只是底层集合。(math.utoronto.ca)

定义与记号

设 $(X,d)$ 为度量空间，$a\in X$，且 $r>0$ 为实数。以 $a$ 为中心、$r$ 为半径的开球定义为

其他常用记号包括 $B(a,r)$ 和 $B_r(a)$。在同时讨论多个度量时，用下标标明度量很有帮助。定义中的严格不等式排除了所有到中心距离恰为 $r$ 的点，而中心本身属于开球，因为 $d(a,a)=0$。(jirka.org)

通常约定半径为正数。如果将同一公式扩展到 $r=0$，得到的是空集，而不是仅含中心的单点集。固定中心时，各个球之间有包含关系：$0<r\le s$ 蕴含 $B(a,r)\subseteq B(a,s)$。这些结论都可直接由定义中的不等式得出。(sites.millersville.edu)

欧几里得空间中的例子

在以 $d(x,y)=|x-y|$ 为距离的实数轴上，

在采用欧几里得距离的 $\mathbb R^n$ 中，

因此，二维开球是开圆盘，三维开球是实心球的内部。球包含内部的点，而不只是围绕它的圆周或球面。(math.utoronto.ca)

开性是相对于所处空间而言的。若 $Y$ 是 $X$ 的子集，并赋予限制在 $Y$ 上的度量，则

例如，在采用通常距离的 $Y=[0,1]$ 中，$B_Y(0,\tfrac12)=[0,\tfrac12)$。这个集合在 $Y$ 中是开的，但在 $\mathbb R$ 中不是开的。这类例子体现了子空间拓扑。(jirka.org)

为什么开球是开集

每个开球都是其度量所诱导的拓扑中的开集。证明的关键是三角不等式。若 $y\in B(a,r)$，取

只要 $z\in B(y,\delta)$，就有

因此，$B(y,\delta)\subseteq B(a,r)$：原开球中的每个点周围，都有一个仍完全包含在原开球内的较小开球。(jirka.org)

更一般地，$U\subseteq X$ 是开集，当且仅当每个 $x\in U$ 都存在某个 $r>0$，使得 $B(x,r)\subseteq U$。等价地，开集就是开球的任意并。因此，所有开球组成的集合族构成度量拓扑的一个基，并使 $X$ 成为拓扑空间。有限个开球的交集是开集，但其本身未必是开球。(cs.mcgill.ca)

闭球与闭包

相应的闭球为

它是一个闭集。不过，不应将这一记号与开球的闭包混淆：在一般的度量空间中，

而等号未必成立。在赋范向量空间中，对任意正半径，等号都成立。(homepages.ucl.ac.uk)

一个具体的反例是：给至少含有两个点的集合 $X$ 赋予离散度量，即不同点之间的距离为 $1$。此时 $B(a,1)=\{a\}$，其闭包就是自身，而 $\overline B(a,1)=X$。更一般地，当 $0<r\le1$ 时，其开球是单点集；当 $r>1$ 时，其开球是整个空间。因此，“开”并不一定意味着“不闭”。(jirka.org)

范数与几何形状

在赋范向量空间中，距离为 $d(x,y)=\|x-y\|$，其中 $\|\cdot\|$ 是一个范数。因此，

每个正半径的开球都可以由开单位球 $B(0,1)$ 经缩放和平移得到，且每个范数球都是凸集。凸性可由范数的三角不等式和齐次性推出。(hhhyx817.github.io)

不同的范数会产生不同的形状。在 $\mathbb R^2$ 中，欧几里得范数产生圆盘；$\|(x,y)\|_1=|x|+|y|$ 产生菱形的球；$\|(x,y)\|_\infty=\max(|x|,|y|)$ 则产生不包含边界的正方形。这些形状说明，“球”是一个基于距离的术语，并不要求其外观是圆的。(jirka.org)

在分析学中的作用

开球为邻域和极限提供了精确的表述方式。一个序列收敛于 $a$，当且仅当对每个 $B(a,r)$，序列从某一项起的所有项都落在该开球中。连续函数 $f:X\to Y$ 在 $a$ 处连续，当且仅当对每个 $\varepsilon>0$，都存在某个 $\delta>0$，使得

这就是用开球表述的 ε–δ 连续性。(sites.millersville.edu)

开球还可用于描述全有界性：一个集合是全有界的，是指对任意正半径，都可以用有限个具有该半径的开球覆盖它。在完备度量空间中，一个子集是紧的，当且仅当它是闭的且全有界的。开球本身未必是紧的；实数区间 $(0,1)$ 就是一个基本例子。(jirka.org)