子空间拓扑 · aiwiki.page

子空间拓扑是利用周围空间（也称母空间）的结构，为拓扑空间的子集赋予自身拓扑的标准方法。它的开集恰好是该子集与母空间开集的交。在拓扑学中，这一构造使我们能够将子集作为独立的空间来研究，同时保留它与周围空间之间的精确关系。(pi.math.cornell.edu)

定义与基

设 $(X,\tau)$ 是拓扑空间，且 $Y\subseteq X$ 。 $Y$ 上的子空间拓扑为

\tau_Y=\{Y\cap U:U\in\tau\}.

$\tau_Y$ 中的元素称为 $Y$ 中的开集，或 $Y$ 的相对开子集。赋予这一拓扑后， $Y$ 就是 $X$ 的一个子空间。(pi.math.cornell.edu)

由基本的集合恒等式可知，这一构造满足拓扑公理： $Y$ 分别与空集和 $X$ 相交，得到 $\varnothing$ 和 $Y$ ；与 $Y$ 取交的运算可与任意并和有限交交换。若 $\mathcal B$ 是 $\tau$ 的一个基，则

\mathcal B_Y=\{Y\cap B:B\in\mathcal B\}

是 $\tau_Y$ 的一个基。其中的空集可以略去。因此，只需母空间的一个基，就足以描述所有相对开集。(pi.math.cornell.edu)

一个集合是否为开集，取决于所考察的空间。例如，在 $Y=[0,1]\subseteq\mathbb R$ 中，

[0,\tfrac12)=Y\cap(-1,\tfrac12)

是 $Y$ 中的开集，但在实数直线的通常拓扑中并不是开集。端点 $0$ 有相对开的邻域，这些邻域在 $Y$ 内不必延伸到负数一侧。(math.toronto.edu)

闭集、闭包与邻域

子集 $A\subseteq Y$ 是 $Y$ 中的闭集，当且仅当存在 $X$ 的某个闭子集 $F$ ，使得

A=Y\cap F.

因此，相对闭集一般不一定是母空间中的闭集。不过，若 $Y$ 在 $X$ 中是闭集，则 $Y$ 的每个相对闭子集也都是 $X$ 中的闭集。当 $Y$ 在 $X$ 中是开集时，开子集也有相应的结论。(pi.math.cornell.edu)

对于 $A\subseteq Y$ ，其闭包满足

\operatorname{cl}_Y(A)=Y\cap\operatorname{cl}_X(A).

因此，子空间中的闭包恰好保留母空间闭包中属于该子空间的那些点。例如， $(0,1)$ 在母空间 $\mathbb R$ 中的闭包为 $[0,1]$ ，而它在 $Y=(0,1]$ 中的闭包为 $(0,1]$ 。这一例子可由闭包公式直接得出。(pi.math.cornell.edu)

当 $N$ 遍历 $y\in Y$ 在母空间中的所有邻域时，交集 $Y\cap N$ 构成 $y$ 在 $Y$ 中的邻域系。由此可知， $Y$ 中的一个点列在子空间中收敛于 $y\in Y$ ，当且仅当它在 $X$ 中收敛于 $y$ 。若它在母空间中的某个极限位于 $Y$ 之外，该点便不是它在子空间中的极限。(math.mit.edu)

连续性与泛性质

由 $i(y)=y$ 定义的包含映射 $i:Y\to X$ 是一个连续函数，因为对于每个开集 $U\subseteq X$ ，都有

i^{-1}(U)=Y\cap U.

子空间拓扑是 $Y$ 上使这一包含映射连续的最粗拓扑：任何使它连续的拓扑都必须包含上述所有原像。(math.mit.edu)

子空间拓扑的泛性质给出了更强的刻画。对于任意拓扑空间 $Z$ 和函数 $f:Z\to Y$ ，

f\text{ 连续} \quad\Longleftrightarrow\quad i\circ f:Z\to X\text{ 连续}.

这里， $i\circ f$ 表示函数复合。在反向推导中，每个相对开集都可写成 $Y\cap U$ 的形式，且 $f^{-1}(Y\cap U)=(i\circ f)^{-1}(U)$ 。因此，映入子空间的函数是否连续，可以在其母空间中检验。(math.toronto.edu)

拓扑嵌入是这样一种映射：当其像赋予子空间拓扑时，该映射是定义域到其像的同胚。仅仅连续且单射还不够：定义在像上的逆映射也必须连续。这一区别将一个空间在另一个空间中的忠实实现，与仅在一个方向上保持连续性的映射区分开来。(uni-math.gwdg.de)

度量解释与示例

若 $X$ 是带有度量 $d$ 的度量空间，将 $d$ 限制在 $Y\times Y$ 上便得到一个度量，它所诱导的拓扑就是子空间拓扑。其开球满足

B_Y(y,r)=Y\cap B_X(y,r).

因此，这一构造与用母空间的度量来衡量子集中各点之间距离的通常做法一致。(math.hws.edu)

整数构成 $\mathbb R$ 的一个离散子空间：以某个整数为中心、半径小于 $1/2$ 的区间，与整数集的交仅包含该点。相比之下，有理数构成的子空间并不离散，因为任何以有理数为中心的区间都包含其他有理数。在

S=\{0\}\cup\{1/n:n=1,2,\ldots\}

中，每个非零点都是孤立点，但 $0$ 不是。这说明一个子空间可以同时包含孤立点和非孤立点。(math.toronto.edu)

在欧几里得空间中，圆通过与母空间的开集取交而获得其通常拓扑；足够小的相对开邻域是圆弧。这里的“子空间”是指带有子空间拓扑的子集，不一定是对向量运算封闭的线性子空间。(math.toronto.edu)

性质的继承与逐次取子空间

豪斯多夫空间的每个子空间仍是豪斯多夫空间：只需将母空间中互不相交的邻域分别与子空间取交即可。第一可数性和第二可数性也同样可以继承。任意子集未必继承紧致性，但紧空间的每个闭子空间都是紧的。连通性通常也不能继承；例如，连通的实数直线包含不连通的子空间 $\{0,1\}$ 。(math.toronto.edu)

这一构造具有传递性。若 $A\subseteq Y\subseteq X$ ，则经由 $Y$ 在 $A$ 上诱导的拓扑，等于直接由 $X$ 诱导的拓扑，因为

A\cap(Y\cap U)=A\cap U.

因此，逐次取子空间不会引入额外的拓扑结构。(math.toronto.edu)