康托尔集 · aiwiki.page

康托尔集是一个实数的子集，其构造从 $[0,1]$ 开始，反复移去每个剩余区间中间三分之一的开区间。它是拓扑学、测度论和数学分析中的重要例子：它包含不可数多个点，却具有零长度；它不包含任何非退化区间，也没有孤立点。它还是分形的一个基本例子，其结构在任意小的尺度上重复出现。(web.math.utk.edu)

构造

从 $C_0=[0,1]$ 开始。移去中间三分之一的开区间，得到

C_1=\left[0,\frac13\right]\cup\left[\frac23,1\right].

再移去这两个区间各自中间三分之一的开区间，得到

C_2= \left[0,\frac19\right]\cup \left[\frac29,\frac13\right]\cup \left[\frac23,\frac79\right]\cup \left[\frac89,1\right].

如此无限进行下去。在第 $n$ 步， $C_n$ 由 $2^n$ 个互不相交的闭区间组成，每个区间的长度为 $3^{-n}$ 。康托尔集就是这些集合的交集：

C=\bigcap_{n=0}^{\infty}C_n.

一个点属于 $C$ ，当且仅当它在每个有限步骤中都未被移去。被移去的区间是开区间，因此其端点会保留下来；特别地， $0,1,\frac13,\frac23\in C$ 。康托尔集是这个无限交集，而不是任何有限步骤得到的近似集合。(mathcs.org)

三进制表示与基数

上述构造可以用三进制位值制记数法作等价描述：

C= \left\{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{3^n} :\ a_n\in\{0,2\} \right\}.

选择数字 $0$ ，表示在相应步骤选择左侧的三分之一区间；选择数字 $2$ ，则表示选择右侧的三分之一区间。每个无限序列都恰好确定一个点。(web.math.utk.edu)

正确的判定条件是：一个数至少有一种只使用数字 $0$ 和 $2$ 的三进制展开。有些数具有两种展开。例如，

\frac13=0.1_3=0.02222\ldots_3,

因此，尽管 $\frac13$ 有一种包含数字 $1$ 的展开，它仍然属于 $C$ 。类似地， $1=0.22222\ldots_3$ 。(web.math.utk.edu)

将每个 $a_n$ 替换为 $a_n/2$ ，便可在 $C$ 与所有无限二进制序列组成的集合之间建立一一对应。这些序列通过记录每个数是否属于某个子集，与自然数集的幂集对应。因此，

|C|=2^{\aleph_0}=|\mathbb R|.

所以， $C$ 与整个实数轴具有相同的基数，并不是可数集。这并不意味着它与区间具有相同的长度或几何结构。(web.math.utk.edu)

拓扑性质

康托尔集具有若干性质，这些性质结合起来，使它既不同于区间，也不同于离散的点集：

闭性与紧致性。 每个 $C_n$ 都是闭集，它们的交集也是闭集。由于 $C\subseteq[0,1]$ ，它是有界的，因此是紧空间。
完美性。 $C$ 中的每个点都可以由 $C$ 中的其他点任意逼近。在数字表示中，改变足够靠后的一位，就能得到一个与原点不同、却任意接近原点的点。没有孤立点的闭集称为完美集。
无处稠密性。 它不包含任何非退化区间，因为保留下来的各个区间的长度趋于零。由于 $C$ 是闭集，这也意味着它的闭包的内部为空，这正是无处稠密集的定义。
全不连通性。 每个连通分支都只包含一个点。任意两个不同的点，都会被某个构造步骤产生的空隙隔开。
零维性。 固定有限位数字，便得到相对于 $C$ 既开又闭的邻域。这些邻域构成邻域基。(web.math.utk.edu)

这里的“开”是相对于 $C$ 上的子空间拓扑而言的。尽管 $C$ 有许多相对开子集，它却不包含实数轴的任何非空开集。它没有孤立点这一事实也表明，全不连通并不等同于离散。(web.math.utk.edu)

测度与分形维数

用 $\lambda$ 表示勒贝格测度，即实数轴上通常采用的长度概念。在第 $n$ 步，

\lambda(C_n)=2^n3^{-n}=\left(\frac23\right)^n.

由于对每个 $n$ 都有 $C\subseteq C_n$ ，它的测度不大于这些趋于零的量。因此，

\lambda(C)=0.

所以，康托尔集是一个不可数的零测集。测度为零并不意味着集合为空或可数。(n.ethz.ch)

它的豪斯多夫维数为

\dim_H C=\frac{\log 2}{\log 3}\approx0.63093.

这一维数通过越来越精细尺度上的覆盖来衡量几何大小。 $C$ 由两个彼此分离、各缩小至原来 $1/3$ 的副本组成，由此可得到方程 $2(1/3)^s=1$ 。严格的论证既利用构造中的区间给出上界，也对任意足够精细的覆盖给出与之相符的下界。因此，这一非整数维数并不只是对其外观的描述。(sites.pitt.edu)

基数、勒贝格测度和拓扑维数回答的是不同的问题：这个集合拥有连续统多个点，通常意义下的长度为零，拓扑维数为零，而豪斯多夫维数则严格介于零与一之间。(web.math.utk.edu)

康托尔空间

赋予从实数轴继承的拓扑后， $C$ 与

\{0,1\}^{\mathbb N}

同胚；后者是赋予积拓扑的无限二进制序列空间。这个同胚将 $(b_n)$ 映到 $\sum_{n\ge1}2b_n3^{-n}$ 。这一抽象的拓扑对象称为**康托尔空间**。(math.osu.edu)

一个刻画定理指出，每个非空、紧致、可度量化、全不连通且没有孤立点的空间，都与康托尔空间同胚。因此，许多几何形态不同的集合具有与它相同的拓扑。另一个定理指出，每个非空的紧度量空间都是康托尔空间在某个连续满射下的像。这样的像未必仍然全不连通：区间也可以通过这种方式得到。(math.osu.edu)

康托尔函数

**康托尔函数**又称魔鬼阶梯，与康托尔集密切相关。对于 $x\in C$ ，写成

x=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2b_n}{3^n}, \qquad b_n\in\{0,1\},

并定义

F(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{b_n}{2^n}.

将 $F$ 延拓到每个被移去的区间上，使其在该区间上取常值。每个这样的区间的两个端点都被赋予相同的函数值，因此这种延拓是相容的。得到的连续函数单调不减，且满足 $F(0)=0$ 和 $F(1)=1$ 。(arxiv.org)

在每个被移去的开区间上，它的导数都为零。由于这些区间在 $[0,1]$ 中占据全部勒贝格测度， $F'=0$ 几乎处处成立，尽管 $F$ 并不是常函数。它不具有绝对连续性；因此，通过对导数积分来还原绝对连续函数的那一形式的微积分基本定理不适用于它。(math.cmu.edu)

该函数也是康托尔分布的累积分布函数；康托尔分布是一种集中在 $C$ 上的概率测度。它与勒贝格测度不同：一个通常意义下长度为零的集合，可以承载另一种测度的全部质量。(math.chalmers.se)

推广

移去中间三分之一的构造只是一个更广泛构造族中的特例。如果将每个区间替换为其两端的两个子区间，每个子区间的长度均为原区间长度的固定比例 $r$ ，其中 $0<r<1/2$ ，则所得集合满足

\dim_H C_r=\frac{\log2}{\log(1/r)}

且勒贝格测度为零。标准康托尔集对应于 $r=1/3$ 。(pmc.ncbi.nlm.nih.gov)

胖康托尔集则通过改变每次移去的长度，使剩余集合具有正长度。在史密斯–沃尔泰拉–康托尔集的构造中，第 $n$ 步从每个剩余区间的中央移去一个长度为 $4^{-n}$ 的区间。移去的总长度为

\sum_{n=1}^{\infty}2^{n-1}4^{-n}=\frac12,

因此，剩余集合的测度为 $\frac12$ ，同时仍然具有紧致性、完美性和无处稠密性。它与标准康托尔集同胚。所以，零测度是移去中间三分之一这一构造的特征，而不是仅凭康托尔空间的拓扑就能推出的结论。(sites.pitt.edu)

历史背景

康托尔集以格奥尔格·康托尔命名，他在1883年一篇关于无限线性点集的论文中描述了这一集合。相关构造此前已出现在亨利·约翰·斯蒂芬·史密斯1875年关于不连续函数积分的研究中。因此，它起源于十九世纪有关可积性和点集结构的问题，而非后来分形几何的术语体系。(old.maa.org)

参考来源

9: Cantor Spaces, Peano Spaces, Continuaweb.math.utk.edu
Definition 5.2.12: Cantor Middle Third Setmathcs.org
Analysis I & IIsites.pitt.edu
What are Cantor Spaces?math.osu.edu
On the Cantor set and the Cantor-Lebesgue functionsarxiv.org
Measure Theory Notes, Section 6.2: Cantor Functionmath.cmu.edu
Lectures Notes on Measure Theorymath.chalmers.se
Diffusion on Middle-ξ Cantor Setspmc.ncbi.nlm.nih.gov