实数是属于 (\mathbb{R}) 所表示的数系的数，这一数系包含所有有理数和无理数。从几何角度看，实数对应数轴上的点。从抽象角度看，实数构成一个完备有序域（数学）：加法、减法、乘法以及除以非零元素的运算遵循通常的算术法则，而完备性则保证这一数系在严格的数学意义上没有空隙。这些性质使实数区别于有理数，并为数学分析奠定了基础。(math.ucdavis.edu)
包含关系与表示方法
实数包含自然数、整数和有理数，这些数系依次扩张： [ \mathbb{N}\subsetneq\mathbb{Z}\subsetneq\mathbb{Q}\subsetneq\mathbb{R}. ] 有理数可以写成 (p/q) 的形式，其中 (p) 和 (q) 都是整数，且 (q\ne0)。无理数则不能写成这种形式；(\sqrt{2}) 是一个典型例子。每个实数都恰好属于这两类中的一类。(math.ucdavis.edu)
每个实数都可以用小数表示。有理数的小数展开是有限小数，或从某一位起循环的无限小数；无理数的小数展开则既不终止，也不会从某一位起循环。小数表示并不总是唯一的，例如： [ 0.999\ldots=1.000\ldots. ] 这是精确的等式，而不是近似关系。有限小数在末尾补上无限个零后，也可以改写为相应的末尾带有无限个九的小数。除这一歧义外，小数展开可以唯一确定实数。(math.northwestern.edu)
代数与序
实数算术中的加法和乘法满足结合律、交换律，并且二者满足分配律。加法单位元是零，乘法单位元是一。每个实数都有加法逆元，每个非零实数都有乘法逆元。在这个域中，除以零没有定义。(math.ucdavis.edu)
实数上的序是全序：对任意 (a,b\in\mathbb{R})，(a<b)、(a=b) 和 (a>b) 中恰有一个成立。这一序与算术运算相容：不等式两边加上同一个数，不等关系保持不变；两边乘以同一个正数，不等号方向保持不变；乘以同一个负数，不等号方向则反转。因此，每个实数的平方都非负，所以方程 (x^2=-1) 没有实数解。更大的复数系提供了这样的解，但无法赋予它一个与其域运算相容的序。(math.ucdavis.edu)
完备性
实数的完备性以最小上界性质为定义：每个非空且有上界的实数集合，在 (\mathbb{R}) 中都有最小上界，也称上确界。这个上界不一定属于集合本身：例如，开区间 ((0,1)) 的上确界是 (1)，但它没有最大元素。(math.ucdavis.edu)
有理数不具备这一性质。平方小于 (2) 的正有理数所组成的集合有上界，但其最小上界应为 (\sqrt{2})，而这个数不是有理数。因此，仅有稠密性并不能消除空隙：任意两个不同的实数之间都有有理数，但有理数系并不完备。(math.ucdavis.edu)
完备性蕴含阿基米德性质：对每个实数 (x)，都存在一个大于 (x) 的正整数。因此，实数中既没有无穷大的数，也没有小于所有 (1/n)（(n) 为正整数）的正无穷小量。在扩展数系中引入的符号 (+\infty) 和 (-\infty) 并不是通常意义上的实数。(people.math.wisc.edu)
构造与刻画
从有理数构造实数有两种标准方法。戴德金分割是 (\mathbb{Q}) 的一个非空真子集，它向下封闭，且没有最大元素。它刻画了一条分界，其中也包括不对应任何有理数的分界。实数 (r) 所对应的分割，恰好包含所有小于 (r) 的有理数。(arxiv.org)
另一种构造使用有理数的柯西序列：这类序列中，只要项的位置足够靠后，各项之间的距离就可以任意小。当两个这样的序列之差趋于零时，它们表示同一个实数。实数的算术运算通过对代表序列进行运算来定义。(arxiv.org)
在经典数学中，这两种构造得到的数系是等价的。在保序的域同构意义下，实数域是唯一的：任意两个完备有序域都具有相同的数学结构，尽管其元素的具体构造方式可能不同。(people.math.wisc.edu)
集合的大小与连续统
在集合论中，(\mathbb{R}) 是不可数的，这与 (\mathbb{N})、(\mathbb{Z}) 和 (\mathbb{Q}) 不同。康托尔对角线论证表明，即使只考虑区间 ((0,1))，也没有任何序列能列出其中的全部实数。对于一个声称列出了所有实数的小数展开列表，可以构造一个小数，使其第 (n) 位数字与列表中第 (n) 个小数的第 (n) 位数字不同，并在选择数字时避开末尾无限个九所带来的歧义。这样构造出的数就不在列表中。(stanford.edu)
这一区别说明，任意两个不同实数之间都有有理数，并不意味着这两个集合一样大。可数性关注的是能否枚举所有元素；稠密性关注的则是元素在有序数轴上的分布。(stanford.edu)
极限与数值计算
每个实数柯西序列都收敛到一个实数极限。这为微积分中对收敛的处理，以及对连续函数的研究提供了基础。但这并不意味着每个序列都收敛：无界序列或振荡序列可能没有实数极限。(math.ucdavis.edu)
计算机中的数值表示必须与抽象的实数系加以区分。固定精度的浮点运算只能表示有限个选定的数值。许多实数，包括有理数 (1/10)，都无法用标准二进制浮点格式精确表示。因此，存储的近似值和经过舍入的运算，其表现可能与精确的实数算术不同，即使显示出来的十进制结果看似简单也是如此。(docs.python.org)