算术是数学中最古老、最基础的分支，研究数以及数与数之间的运算，主要是加、减、乘、除，通常也包括乘方和开方。在日常用语中，算术指用整数、分数和小数进行的实际计算。在较深的层面上，“高等算术”是数论的旧称，数论研究整数的性质。代数、几何学以及大多数定量科学都建立在算术之上。自最早的国家出现以来，贸易、税收、土地测量和货币就离不开算术。
基本运算与性质
四种基本运算构成两对互逆运算：减法是加法的逆运算，除法是乘法的逆运算。自然数的乘法可以理解为重复相加，乘方则可以理解为重复相乘。加法和乘法满足以下几条一般规律：
- 交换律： a + b = b + a，a × b = b × a。
- 结合律： (a + b) + c = a + (b + c)，乘法同样成立。
- 分配律： a × (b + c) = a × b + a × c。
- 单位元： 零是加法的单位元，一是乘法的单位元。
减法和除法既不满足交换律，也不满足结合律。除以零没有定义。运算顺序的规则规定先算乘方，再算乘除，最后算加减。有了这些规则，书面算式才能被唯一地解读。
算术涉及多个数系，每个数系的引入都是为了让某种运算总能得出结果。自然数对加法和乘法封闭；整数加入了负数，使减法总能进行；有理数则允许除以任何非零的数。实数和复数把这些运算进一步推广，相关内容通常归入分析学和代数的范畴。
记数法与计算
计算是否方便，很大程度上取决于数的写法。古埃及象形文字数字和罗马数字等加法式记数法使大数乘法十分繁琐。在位值制（进位制）中，一个数字代表的值取决于它所处的位置，这使得多位数加法、乘法和长除法都能用标准的笔算方法完成。美索不达米亚的巴比伦人使用六十进制的位值记数法，今天计量时间和角度的方式仍保留着它的痕迹。包含零在内共有十个数码的十进制印度-阿拉伯数字系统后来成为全球通用的标准。现代计算机用二进制进行算术运算，其电路由简单的逻辑门构成全部运算。
计算工具与记数法同步发展。早在笔算方法普及之前，人们就借助算板、算筹和算盘快速计算。17世纪出现了机械计算器，其中包括布莱兹·帕斯卡和戈特弗里德·威廉·莱布尼茨设计的机器。此后有查尔斯·巴贝奇设计的差分机和分析机，最终发展到电子计算机。
历史
古代文明
刻痕计数符号等文物表明，人类早在文字出现之前就已经会计数。现存最早的详细数学文献来自古埃及和美索不达米亚。《莱因德数学纸草书》约成书于公元前1650年，是现存篇幅最大的古埃及数学纸草书，得名于1858年购得它的亨利·莱因德。古埃及人把分数写成若干互不相同的单位分数之和，并通过反复加倍再相加的方法做乘法。
在中国，《九章算术》最迟在汉朝时已编成。书中记载了分数、比例以及用算筹进行计算的方法，其中包括负数的运算。在古希腊，学者把研究数的理论之学 arithmetike（算术学）与实用计算 logistike（计算术）区分开来。欧几里得的《几何原本》包含早期的数论成果，其中证明了素数有无穷多个。
印度、伊斯兰世界与欧洲
印度数学家发展出完整的十进制位值制。5世纪时，阿耶波多已描述了一种需要占位符来区分数值的位值记数法。婆罗摩笈多在《婆罗摩历算书》（628年）中把零当作一个独立的数，并制定了零与负数的运算规则。
阿拔斯王朝的学者吸收了这些方法。9世纪时，花拉子米写了一部介绍印度算法的著作，后来以拉丁文译本 Algoritmi de numero Indorum 流传。英文“algorithm”（算法）一词即源于他的名字。1202年，比萨的莱昂纳多（斐波那契）出版《计算之书》，把印度-阿拉伯数字及其算法引入欧洲。不过它们的传播仍然缓慢。罗马数字和算盘长期通行，直到文艺复兴时期及之后，商业的扩张和印刷算术教科书的普及才使新数字真正得到广泛使用。
基础
在历史上大部分时间里，x + y = y + x 这样的事实被视为不言自明，无需形式上的论证。1861年，赫尔曼·格拉斯曼证明，这些规律可以从关于后继运算（“加一”）和数学归纳法的更基本事实推导出来。1888年，理查德·戴德金给出了严格的论述。1889年，朱塞佩·皮亚诺在《算术原理：新方法阐述》（Arithmetices principia, nova methodo exposita）中提出了皮亚诺公理。其一阶形式称为皮亚诺算术，成为自然数的标准公理系统，也是数理逻辑学的核心研究对象之一。
戴维·希尔伯特希望只用有穷方法证明算术的一致性。1931年，库尔特·哥德尔证明这在很强的意义上是不可能的。他的不完备性定理表明，任何包含基本算术的一致形式系统中，都存在无法在该系统内证明的真命题；而且这样的系统无法证明自身的一致性。这些结果改变了数学哲学，后来也影响了计算机科学和可计算性理论。
教学与应用
算术是大多数儿童最先学习的正式数学。它与读写一起，构成基础教育和识字能力的核心部分。课程内容通常从计数和基本数的事实开始，逐步过渡到笔算方法、分数、小数、百分数和比。数感（运用算术处理日常事务的能力）是个人理财、测量和解读定量信息的基础。
在课堂之外，算术无处不在：会计和银行业务、工程计算、统计学和概率，以及密码学都离不开它。模算术（又称“时钟算术”）处理的是除法后的余数，它是公钥加密系统和检错码的基础。计算机用浮点运算表示实数，其精度有限，因而会产生舍入误差；数值分析这一领域就是研究如何控制这类误差的。
参考来源
- Rhind Papyruscut-the-knot.org
- Note (a) for Implications for Mathematics and Its Foundations: A New Kind of Sciencewolframscience.com
- On Non-Standard Models of Peano Arithmetic and Tennenbaum's Theoremarxiv.org
- Giuseppe Peano and the Axiomatization of Mathematicsmathshistory.st-andrews.ac.uk
- Zerotranslate.google.com
- Brahmaguptaen.wikipedia.org
- K A R P R E S E A R C H R E P O R T Origins of Abstract Numberingsouldriver.com.au