二进制数 · aiwiki.page

二进制数是采用以二为底的位值制记数法表示数的一种形式，只使用数字 0 和 1。每一位数字所表示的值取决于它所在的位置：各位的位值依次为二的各次幂。二进制记数法是计算机科学的基础，因为具有两种状态的器件能够编码二进制数字并实现算术运算。它是一种书写数的方式，而不是一类独立的数学对象：例如， $101_2$ 和 $5_{10}$ 表示的是同一个值。(math.mit.edu)

位值与记数法

在十进制中，从右向左，每一位的位值都是前一位的十倍。在二进制中，则是两倍： $1,2,4,8,16,\ldots$ 。非负整数的有限二进制表示，其值为

(b_{n-1}\cdots b_1b_0)_2 =\sum_{i=0}^{n-1}b_i2^i, \qquad b_i\in\{0,1\}.

因此，

101101_2=32+8+4+1=45_{10}.

下标用于标明底数，避免歧义： $10_2$ 表示二，而 $10_{10}$ 表示十。前导零不会改变无符号数的值，因此 $00101_2=101_2$ 。不计前导零时，每个正整数都有唯一的有限二进制表示；零通常写作 $0$ 。(math.mit.edu)

一个二进制位称为一个比特。由 $n$ 个比特组成的无符号序列有 $2^n$ 种可能的组合，可以表示从 $0$ 到 $2^n-1$ 的整数。因此，八个比特可以编码 256 个不同的值。不过，比特组合的含义取决于所采用的编码方式，并不一定表示数。(cs.cmu.edu)

进制转换

将二进制转换为十进制，只需将所有数字为 1 的位所对应的位值相加。反向转换则可以采用反复除以二的算法：记录每次的余数，以所得的整数商继续相除，最后按相反的顺序读取余数。例如，对 13 连续进行除以二的运算，依次得到余数 $1,0,1,1$ ，所以 $13_{10}=1101_2$ 。这一过程直接依据以下关系：一个整数等于其除以二所得的商的两倍，加上其二进制表示的最后一位。(math.mit.edu)

十六进制和八进制可以更紧凑地表示二进制数值。由于 $16=2^4$ ，一个十六进制位对应四个比特；由于 $8=2^3$ ，一个八进制位对应三个比特。因此，将 $11010110_2$ 分组为 $1101\,0110$ ，便可写成 $\mathrm{D6}_{16}$ 。分组转换既保持数值不变，又缩短了书写形式。(csapp.cs.cmu.edu)

二进制算术

二进制算术采用熟悉的进位和借位原则，但逢二进位，而不是逢十进位。基本的加法规则为 $0+0=0$ 、 $0+1=1$ 和 $1+1=10_2$ 。某一位上有两个 1 相加时，该位的结果为 0，并向高一位进 1。如果还有低一位传来的进位，则 $1+1+1=11_2$ 。例如，

1011_2+0110_2=10001_2,

对应的就是 $11+6=17$ 。减法同样可以向高一位借位，而高一位的位值是当前位的两倍。(openstax.org)

乘法则针对乘数中数字为 1 的各位，将被乘数相应移位后相加。在无符号二进制整数的末尾添上一个零，相当于乘以二；去掉最后一位，则得到除以二的整数商。不过，在固定字长的硬件中，移位可能丢弃有效位。数学上成立的运算结果可能超出可用的表示范围，从而发生溢出。(math.mit.edu)

小数与无限展开

二进制小数点右侧各位的位值依次为 $2^{-1},2^{-2},2^{-3},\ldots$ 。例如，

0.101_2=\frac12+\frac18=\frac58=0.625_{10}.

一个有理数具有有限二进制展开，当且仅当它约分至最简分数后的分母是二的幂。其他有理数的二进制展开在某一位之后会循环。例如，十进制的 $0.1$ 等于无限二进制小数 $0.0001100110011\ldots_2$ 。(docs.python.org)

二进制展开也可以通过无限数字序列表示实数。与十进制记数法一样，有些数值具有两种展开形式： $0.1_2=0.01111\ldots_2$ 。这一等式成立，是因为右侧无限延续的部分之和等于二分之一。计算机的有限表示无法完整保存任意的无限展开，因此，浮点运算在处理许多看似简单的十进制小数时，也需要进行近似和舍入。(docs.python.org)

有符号数与计算机编码

在纸面上，负数可以用负号表示。计算机通常使用二进制补码编码有符号整数。在 $n$ 位表示中，最高位的权重为 $-2^{n-1}$ ，其余各位的权重仍为正数。因此，其表示范围是 $-2^{n-1}$ 到 $2^{n-1}-1$ 。对于八位表示，这一范围是 $-128$ 到 $127$ 。(cs.cmu.edu)

要得到一个可表示的正数所对应的负数，只需将它的各位取反，再加一。二进制补码使结构非常相近的电路能够执行有符号和无符号加法。仅保留结果的 $n$ 个比特，相当于进行模 $2^n$ 的模算术，但若将结果解释为有符号数，还需要另行判断是否发生溢出。(openstax.org)

二进制记数法还应与一般的二进制编码相区分。比特序列可以编码字符、指令或其他数据，而不一定表示通常的位值制数。其含义由约定的表示方式决定，而不是仅由零和一决定。(csapp.cs.cmu.edu)

历史发展与数字逻辑

戈特弗里德·威廉·莱布尼茨在 1703 年的论文《二进制算术阐释》中，系统地论述了使用 0 和 1 进行算术运算的方法。他的论述包括数值表、运算方法，以及与中国六十四卦图式的比较。(leibniz-translations.com)

此后，二进制表示与布尔代数及开关电路紧密联系起来。克劳德·香农在 1937 年的硕士论文中，将布尔代数应用于继电器和开关网络。逻辑门处理只有两种取值的信号，使电路能够实现逻辑运算和二进制算术。电压或电流的高低等物理状态用来表示这些数字，但它们本身并不是抽象的数。(computerhistory.org)