整数

整数是属于集合

的数。整数包括用于计数的正数、零以及计数所用正数的相反数，不包括 $1/2$ 和 $\sqrt2$ 等非整数。在初等数学中，整数将计数扩展到方向或符号相反的量，例如收益与损失，或参照点上方与下方的位置。（openstax.org）

定义及其在数系中的位置

正整数是 $1,2,3,\ldots$，负整数是 $-1,-2,-3,\ldots$。零既不是正数，也不是负数。非负整数包括零和正整数。英语中的“whole numbers”通常指非负整数，而自然数是否包含零，则因约定而异。（openstax.org）

每个整数都是有理数，因为 $n=n/1$，因此也都是实数。反过来则不成立：许多有理数和实数并不是整数。这种包含关系针对的是数值，而不是书写形式。例如，$6/2$ 虽然写成分数形式，却表示整数 $3$。有理数可以由分母非零的整数之比构造出来。（pancratz.org）

顺序与大小

在数轴上，整数对应等距排列的点，相邻整数之间相距一个单位。数值向右递增，例如 $-5<-2<0<3$。每个整数 $n$ 都有紧邻的前一个整数 $n-1$ 和后一个整数 $n+1$。整数没有最大值或最小值，两个相邻整数之间也不存在其他整数。（openstax.org）

绝对值 $|n|$ 表示整数到零的距离，与其正负号无关。因此，$|-7|=|7|=7$。互为相反数的整数具有相同的绝对值，但它们的位置和大小关系不同。例如，尽管 $7>4$，却有 $-7<-4$。（openstax.org）

在集合论中，整数集是一个可数无限集。整数可以排列为 $0,1,-1,2,-2,\ldots$，从而与非负整数建立一一对应关系。因此，加入负数并不会增大自然数系的无限基数。（math.libretexts.org）

算术与代数结构

整数算术中的加法、减法和乘法具有封闭性：对两个整数进行其中任一种运算，结果仍是整数。加法和乘法都满足结合律与交换律，乘法对加法满足分配律。零是加法单位元，一是乘法单位元，每个整数 $n$ 都有加法逆元 $-n$。（math.libretexts.org）

整数对除法并不封闭，例如 $7/2$ 不是整数。只有 $1$ 和 $-1$ 的乘法逆元仍是整数。除以零没有定义。在抽象代数中，这些性质使 $\mathbb Z$ 成为一个有单位元的交换环，但它不是域（数学）。它也是一个整环：只有至少一个因数为零时，整数的乘积才会为零。（math.libretexts.org）

形式化构造

整数可以由自然数构造出来，而无须预先假定减法已经存在。约定自然数包含零，考虑用于表示 $a-b$ 的有序对 $(a,b)$。定义一个等价关系：

于是，一个整数就是这类有序对的一个等价类。例如，$(3,1)$、$(4,2)$ 和 $(2,0)$ 都表示 $2$。（builds.openlogicproject.org）

用 $[(a,b)]$ 表示一个等价类，加法定义为

取相反数则是交换两个坐标。自然数 $n$ 对应 $[(n,0)]$，其相反数对应 $[(0,n)]$，而所有形如 $(a,a)$ 的代表元都表示零。这些定义不依赖于所选的代表元。（builds.openlogicproject.org）

整除与数论

整数是初等数论的主要研究对象。如果存在整数 $k$，使得 $b=ak$，就称整数 $a$ 整除 $b$。素数是大于一、且正因数只有一和它本身的正整数。算术基本定理指出，每个大于一的整数都有唯一的素因数分解，其中不计各因数的排列顺序。（math.libretexts.org）

带余除法定理指出，对于任意整数 $a$ 和正整数 $b$，存在唯一的整数 $q,r$，满足

这个定理也适用于被除数为负数的情况，例如 $-7=3(-3)+2$。反复进行带余除法，是求最大公因数的欧几里得算法的基础。（math.libretexts.org）

在模算术中，如果正整数 $m$ 整除 $a-b$，就称整数 $a,b$ 模 $m$ 同余。同余关系根据余数将整数分组；模二时，这些类分别是偶数和奇数。加法和乘法都保持同余关系。（math.libretexts.org）

计算机中的整数

数学上的整数没有预设的大小限制，但编程语言中的整数类型可能有固定的取值范围。例如，Java 的 int 使用 32 位有符号补码表示，取值范围为 $-2^{31}$ 至 $2^{31}-1$。超出该范围的运算结果会发生溢出，而不能保持为精确的数学整数。（docs.oracle.com）

另一些实现则提供任意精度运算。在 Python 的数值模型中，整数具有无限精度，不过实际计算仍受可用内存和处理资源的限制。这一区别体现了抽象整数系统与其有限计算表示之间的差异。（docs.python.org）